Kezdőlap


Feladat:	Gy.3049	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Balogh Attila , Bérczi Gergely , Devecsery András , Felföldi Zsolt , Flaskár Melinda , Germán László , Hangya Balázs , Katona Zsolt , Kosnás Attila Tamás , Lambert Zoltán Krisztián , Lippner Gábor , Méder Áron , Molnár Marianna , Molnár-Sáska Balázs , Nyul Gábor , Páles Csaba , Prohászka Benedek , Reviczky Ágnes , Salamon Éva , Savanya Judit , Szabó Anett , Terpai Tamás , Várady Gergő , Zábrádi Gergely , Zawadowski Ádám
Füzet:	1996/december, 522 - 523. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Másodfokú függvények, Konstruktív megoldási módszer, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1996/március: Gy.3049

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Tegyük föl, hogy a két függvény közül valamely $x$ -re $f_{1} (x)$ a kisebbik: mivel grafikonjaik nem metszik egymást, ezért ekkor ez minden $x$ -re teljesül, azaz $f_{1} (x) < f_{2} (x)$ .
Válasszunk egy tetszőleges $0 < α < 1$ számot. Ekkor a

\begin{matrix} g (x) = α f_{1} (x) + (1 - α) f_{2} (x) \end{matrix}

függvényre

\begin{matrix} f_{1} (x) < g (x) < f_{2} (x) \end{matrix}

teljesül, tehát az

f_{1} (x)

és

f_{2} (x)

grafikonját a

g (x)

grafikonja elválasztja egymástól.
Megmutatatjuk, hogy

α

megválasztható úgy, hogy

g (x)

grafikonja egyenes legyen. Induljunk ki az

\begin{matrix} f_{1} (x) = a_{1} x^{2} + b_{1} x + c_{1} és f_{2} (x) = a_{2} x^{2} + b_{2} x + c_{2} \end{matrix}

egyenletekből. Szorozzuk meg

a_{2}

-vel az elsőt,

a_{1}

-gyel a másodikat, majd vonjuk ki őket egymásból:

\begin{matrix} \begin{matrix} a_{2} f_{1} (x) - a_{1} f_{2} (x) = (b_{1} a_{2} - b_{2} a_{1}) x + c_{1} a_{2} - c_{2} a_{1}; \\ \frac{a_{2}}{a_{2} - a_{1}} f_{1} (x) + \frac{- a_{1}}{a_{2} - a_{1}} f_{2} (x) = \frac{b_{1} a_{2} - b_{2} a_{1}}{a_{2} - a_{1}} x + \frac{c_{1} a_{2} - c_{2} a_{1}}{a_{2} - a_{1}} . \end{matrix} \end{matrix}

Mivel

a_{1} a_{2} < 0

, azért

a_{2} - a_{1} \neq 0

\frac{a_{2}}{a_{2} - a_{1}} > 0

\frac{- a_{1}}{a_{2} - a_{1}} > 0

, valamint

\begin{matrix} \frac{a_{2}}{a_{2} - a_{1}} + \frac{- a_{1}}{a_{2} - a_{1}} = 1. \end{matrix}

Tehát az

α = \frac{a_{2}}{a_{2} - a_{1}}

választással

\begin{matrix} g (x) = \frac{b_{1} a_{2} - b_{2} a_{1}}{a_{2} - a_{1}} x + \frac{c_{1} a_{2} - c_{2} a_{1}}{a_{2} - a_{1}} \end{matrix}

valóban egyenes.

Prohászka Benedek (Győr, Czuczor G. Bencés Gimn., II. o.t.) dolgozata alapján