Feladat: Gy.3049 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Balogh Attila ,  Bérczi Gergely ,  Devecsery András ,  Felföldi Zsolt ,  Flaskár Melinda ,  Germán László ,  Hangya Balázs ,  Katona Zsolt ,  Kosnás Attila Tamás ,  Lambert Zoltán Krisztián ,  Lippner Gábor ,  Méder Áron ,  Molnár Marianna ,  Molnár-Sáska Balázs ,  Nyul Gábor ,  Páles Csaba ,  Prohászka Benedek ,  Reviczky Ágnes ,  Salamon Éva ,  Savanya Judit ,  Szabó Anett ,  Terpai Tamás ,  Várady Gergő ,  Zábrádi Gergely ,  Zawadowski Ádám 
Füzet: 1996/december, 522 - 523. oldal  PDF file
Témakör(ök): Másodfokú függvények, Konstruktív megoldási módszer, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1996/március: Gy.3049

Az f1(x)=a1x2+b1x+c1 és f2(x)=a2x2+b2x+c2 függvények grafikonjainak nincs közös pontja és főegyütthatóik szorzata negatív (a1a2<0). Bizonyítsuk be, hogy van olyan egyenes, amellyel a grafikonok elválaszthatók.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Tegyük föl, hogy a két függvény közül valamely x-re f1(x) a kisebbik: mivel grafikonjaik nem metszik egymást, ezért ekkor ez minden x-re teljesül, azaz f1(x)<f2(x).
Válasszunk egy tetszőleges 0<α<1 számot. Ekkor a

g(x)=αf1(x)+(1-α)f2(x)
függvényre
f1(x)<g(x)<f2(x)
teljesül, tehát az f1(x) és f2(x) grafikonját a g(x) grafikonja elválasztja egymástól.
Megmutatatjuk, hogy α megválasztható úgy, hogy g(x) grafikonja egyenes legyen. Induljunk ki az
f1(x)=a1x2+b1x+c1ésf2(x)=a2x2+b2x+c2
egyenletekből. Szorozzuk meg a2-vel az elsőt, a1-gyel a másodikat, majd vonjuk ki őket egymásból:
a2f1(x)-a1f2(x)=(b1a2-b2a1)x+c1a2-c2a1;a2a2-a1f1(x)+-a1a2-a1f2(x)=b1a2-b2a1a2-a1x+c1a2-c2a1a2-a1.
Mivel a1a2<0, azért a2-a10, a2a2-a1>0, -a1a2-a1>0, valamint
a2a2-a1+-a1a2-a1=1.
Tehát az α=a2a2-a1 választással
g(x)=b1a2-b2a1a2-a1x+c1a2-c2a1a2-a1
valóban egyenes.
 Prohászka Benedek (Győr, Czuczor G. Bencés Gimn., II. o.t.) dolgozata alapján