Feladat: Gy.3038 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Bérczi Gergely ,  Várady Gergő 
Füzet: 1996/december, 518 - 519. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Indirekt bizonyítási mód, Négyzetszámok tulajdonságai, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1996/február: Gy.3038

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Tegyük föl, hogy találtunk 50 számot úgy, hogy nincs köztük néhány, amelyeknek az összege négyzetszám.
Rendezzük párokba az 1-től 100-ig terjedő egész számokat a következő módon:

(1,99),(2,98),...,(49,51).
Ily módon összesen 49 párt kaptunk, az 50 és a 100 maradt ki.
Minden párból legfeljebb az egyik szám szerepelhet az 50 szám között, hiszen egy páron belül az összeg négyzetszám. Sőt, a (36,64) párból egyik sem szerepelhet, lévén eleve négyzetszámok; s ugyanezért a 100 sem választható. Így az 50-esen kívül még legfeljebb további 48 szám szerepelhet, és ez összesen csak 49.
Ezzel az állítást beláttuk.
 Várady Gergő (Budapest, Eötvös J. Gimn., II. o.t.) dolgozata alapján