|
Feladat: |
Gy.3035 |
Korcsoport: 16-17 |
Nehézségi fok: nehéz |
Megoldó(k): |
Bárány Kristóf , Barát Anna , Bérczi Gergely , Bosznay Tamás , Braun Gábor , Dedinszky Zsófia , Gyenes Zoltán , Horváth Gábor , Lippner Gábor , Nagy Endre , Naszódi Gergely , Páles Csaba , Sipos András , Szabó Gábor , Szandrocha Kamilla , Szepesi Zoltán , Terék Zsolt , Tótin Ágnes , Vaik Zsuzsanna , Végh László , Zubcsek Péter Pál |
Füzet: |
1996/október,
413 - 414. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Háromszögek nevezetes tételei, Beírt kör, Terület, felszín, Háromszög-egyenlőtlenség alkalmazásai, Gyakorlat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1996/január: Gy.3035 |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Jelöljük a háromszög oldalait a szokásos módon , , -vel. Tudjuk, hogy egy külső pontból a körhöz húzott két érintőszakasz egyenlő hosszúságú. Ezért , és (ld. az ábrát). Tudjuk továbbá, hogy Ezt az egyenletrendszert megoldva kapjuk, hogy | |
Ismert, hogy ha két háromszögnek közös az egyik szöge, akkor területeik aránya megegyezik a közös szöget közrefogó oldalaik szorzatának arányával. Ezért vagyis Ugyanígy kapjuk, hogy | | A bizonyítandó állítás ekvivalens azzal, hogy Ezt a fenti összefüggéseket felhasználva | | (1) | alakban is írhatjuk. Az egyenlőtlenséget -vel szorozva, majd rendezve kapjuk, hogy: | | azaz: | | Ez viszont a háromszög-egyenlőtlenség miatt nyilvánvalóan teljesül. Mivel ekvivalens átalakításokat végeztünk, ezért (1) is teljesül. Ezzel beláttuk, hogy .
Megjegyzés. Megoldásunkból az is látszik, hogy a háromszög területe pontosan akkor lesz az háromszög területének egynegyede, ha a háromszög szabályos.
|
|