Feladat: Gy.3035 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Bárány Kristóf ,  Barát Anna ,  Bérczi Gergely ,  Bosznay Tamás ,  Braun Gábor ,  Dedinszky Zsófia ,  Gyenes Zoltán ,  Horváth Gábor ,  Lippner Gábor ,  Nagy Endre ,  Naszódi Gergely ,  Páles Csaba ,  Sipos András ,  Szabó Gábor ,  Szandrocha Kamilla ,  Szepesi Zoltán ,  Terék Zsolt ,  Tótin Ágnes ,  Vaik Zsuzsanna ,  Végh László ,  Zubcsek Péter Pál 
Füzet: 1996/október, 413 - 414. oldal  PDF file
Témakör(ök): Háromszögek nevezetes tételei, Beírt kör, Terület, felszín, Háromszög-egyenlőtlenség alkalmazásai, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1996/január: Gy.3035

Az ABC háromszög beírt köre a P, Q és az R pontokban érinti a háromszög oldalait. Mutassuk meg, hogy a PQR háromszög területe nem nagyobb, mint az ABC háromszög területének egynegyede.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelöljük a háromszög oldalait a szokásos módon a, b, c-vel. Tudjuk, hogy egy külső pontból a körhöz húzott két érintőszakasz egyenlő hosszúságú. Ezért AR=AQ, BR=BP és CP=CQ (ld. az ábrát). Tudjuk továbbá, hogy

AR+BR=c,BP+CP=a,CQ+AQ=b.
Ezt az egyenletrendszert megoldva kapjuk, hogy
AR=AQ=b+c-a2,BR=BP=a-b+c2CP=CQ=a+b-c2.és

Ismert, hogy ha két háromszögnek közös az egyik szöge, akkor területeik aránya megegyezik a közös szöget közrefogó oldalaik szorzatának arányával. Ezért
tARQtABC=(b+c-a2)2bc,
vagyis
tARQ=(b+c-a)24bctABC.
Ugyanígy kapjuk, hogy
tBPR=(c+a-b)24actABCéstCQP=(a+b-c)24actABC
A bizonyítandó állítás ekvivalens azzal, hogy
tARQ+tBPR+tCQP34tABC.
Ezt a fenti összefüggéseket felhasználva
(b+c-a)2bc+(a-b+c)2ac+(a+b-c)2ab3(1)
alakban is írhatjuk. Az egyenlőtlenséget 2abc-vel szorozva, majd rendezve kapjuk, hogy:
2a3+2b3+2c3-2a2b-2ab2-2b2c-2bc2-2c2a-2ca2+6abc0,
azaz:
(b+c-a)(b-c)2+(a-b+c)(a-c)2+(a+b-c)(a-b)20.
Ez viszont a háromszög-egyenlőtlenség miatt nyilvánvalóan teljesül. Mivel ekvivalens átalakításokat végeztünk, ezért (1) is teljesül. Ezzel beláttuk, hogy tPQR14tABC.
 
Megjegyzés. Megoldásunkból az is látszik, hogy a PQR háromszög területe pontosan akkor lesz az ABC háromszög területének egynegyede, ha a háromszög szabályos.