Feladat: F.3151 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Bérczi Gergely ,  Deli Lajos ,  Devecsery András ,  Gyenes Zoltán ,  Hajdufi Péter ,  Hangya Balázs ,  Hesz Gábor ,  Jakabfy Tamás ,  Katona Zsolt ,  Lázár Zsófia ,  Lippner Gábor ,  Megyeri Csaba ,  Nagy István ,  Naszvadi Péter ,  Patakfalvi Zsolt ,  Prause István ,  Rudolf Gábor ,  Szalai-Dobos András ,  Terék Zsolt ,  Terpai Tamás ,  Várkonyi Péter 
Füzet: 1997/szeptember, 348 - 349. oldal  PDF file
Témakör(ök): Négyzetek, Kör geometriája, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1996/december: F.3151

Legyen n  1-nél nagyobb egész szám. Az n egység oldalú négyzetben n2 darab egységnyi átmérőjű közös pont nélküli zárt körlemezt szeretnénk elhelyezni. Van-e olyan n, amelyre ez lehetséges?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megmutatjuk, hogy n=10 esetén a kívánt elhelyezés lehetséges. Tekintsünk ehhez egy 10-szer 10-es négyzetlemezt. Ezen elhelyezünk legalább 100 pontot úgy, hogy bármelyik kettő távolsága 1-nél nagyobb legyen, és bármelyik pont a négyzet határától legalább 0,5 egységre van. Ha ez sikerül, ezek a pontok lesznek a körlemez középpontjai. Első próbálkozásként a körközéppontokat egy 9-szer 9-es négyzetlemezen helyezzük el, amelyet 100 egybevágó 0,9-szer 1-es téglalapra bontunk az ábra szerint. A téglalaprácsot létrehozó egyik irányú 11 egyenest megszámoztuk. Ezután megjelöltük a páratlan sorszámú egyenesek rácspontjait, majd a páros sorszámú egyenesekre illeszkedő téglalap oldalak felezőpontjait. Két szomszédos egyenesen lévő pontok távolsága legalább 0,52+0,92=1,06, tehát nagyobb 1-nél, az egy egyenesen lévő szomszédos pontok távolsága pedig 1. Ezeket az egységnyi távolságokat úgy növeljük meg, hogy mindegyik egyenesen minden második pontot 0,01-gyel ,,lejjebb'' viszünk, kivéve a 11. egyenest, ahol minden második pontot 0,01-gyel ,,feljebb'' viszünk. Így most a legkisebb távolság két szomszédos egyenes pontjai között a 10. és 11. egyenesnél lép föl. Ez a távolság 0,52+0,882=1,0244, ami nagyobb, mint 1, ezért a megjelölt 105 pont közül bármelyik 100 köré rajzolt egységnyi átmérőjű zárt körlemezek páronként közös pont nélküliek, és rajta vannak a 10-szer 10-es négyzetlemezen.

 Devecsery András (Fazekas M. Főv. Gyak. Gimn., II. o.t.)

 
Megjegyzések. 1. A leírt gondolatmenet n=8 esetén is működik. Gyanítható, hogy n<8-ra a kívánt elhelyezés nem lehetséges.
2. A megoldásból azt is láthatjuk, hogy n2 számú körnél több is elhelyezhető.