Kezdőlap


Feladat:	F.3149	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bakonyi Nóra , Barát Anna , Bérczi Gergely , Czirok Levente , Dályay Virág , Deli Lajos , Devecsery András , Gáspár Merse Előd , Gerbicz Róbert , Gyenes Zoltán , Győri Nikolett , Hangya Balázs , Horváth András , Horváth Gábor , Jáger Márta , Jakabfy Tamás , Jeszenszky Gyula , Juhász András , Katona Zsolt , Léka Zoltán , Lippner Gábor , Méder Áron , Megyeri Csaba , Nagy István , Naszvadi Péter , Németh András , Nyul Gábor , Oláh Szabolcs , Páles Csaba , Pintér Dömötör , Pogány Ádám , Poronyi Gábor , Salamon Gábor , Szabó Gábor , Szabó-Turák Dávid , Szita István , Szűcs Gábor , Taraza Abir , Terék Zsolt , Terpai Tamás , Tóth Ádám , Vaik Zsuzsanna , Várady Gergő , Várkonyi Péter , Végh László , Zábrádi Gergely
Füzet:	1997/október, 415. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Indirekt bizonyítási mód, Irracionális számok és tulajdonságaik, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1996/december: F.3149

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Tételezzük fel, hogy az $a$ , $b$ , $c$ egészekre

\begin{matrix} \sqrt[3]{4} a + \sqrt[3]{2} b = - c . \end{matrix}

(1)

(1)-et négyzetre emelve:

\begin{matrix} 2 \sqrt[3]{2} a^{2} + \sqrt[3]{4} b^{2} + 4 a b = c^{2} \end{matrix}

(2)

adódik.
Az (1)

2 a^{2}

-szereséből vonjuk ki (2)

b

-szeresét.

\begin{matrix} 2 \sqrt[3]{4} a^{3} - \sqrt[3]{4} b^{3} - 4 a b^{2} = - 2 c a^{2} - c^{2} b . \end{matrix}

Rendezve:

\begin{matrix} \sqrt[3]{4} (2 a^{3} - b^{3}) = 4 a b^{2} - 2 a^{2} c - b c^{2} . \end{matrix}

Tegyük fel, hogy

2 a^{3} - b^{3} \neq 0

. Ekkor

\begin{matrix} \sqrt[3]{4} = \frac{4 a b^{2} - 2 a^{2} c - b c^{2}}{2 a^{3} - b^{3}} . \end{matrix}

A fenti egyenlőség jobb oldalán csak racionális szám állhat. De

\sqrt[3]{4}

irracionális, így ellentmondásra jutottunk. Tehát

\begin{matrix} 2 a^{3} - b^{3} = 0. \end{matrix}

Ekkor vagy

\frac{b}{a} = \sqrt[3]{2}

vagy

a = b = 0

\sqrt[3]{2}

azonban irracionális, így csak az

a = b = 0

eset állhat fenn. Ebből (1) szerint

c

értéke is 0.

Vaik Zsuzsanna (Budapest, Berzsenyi D. Gimn., III. o.t.) dolgozata alapján