Feladat: F.3149 Korcsoport: 18- Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Bakonyi Nóra ,  Barát Anna ,  Bérczi Gergely ,  Czirok Levente ,  Dályay Virág ,  Deli Lajos ,  Devecsery András ,  Gáspár Merse Előd ,  Gerbicz Róbert ,  Gyenes Zoltán ,  Győri Nikolett ,  Hangya Balázs ,  Horváth András ,  Horváth Gábor ,  Jáger Márta ,  Jakabfy Tamás ,  Jeszenszky Gyula ,  Juhász András ,  Katona Zsolt ,  Léka Zoltán ,  Lippner Gábor ,  Méder Áron ,  Megyeri Csaba ,  Nagy István ,  Naszvadi Péter ,  Németh András ,  Nyul Gábor ,  Oláh Szabolcs ,  Páles Csaba ,  Pintér Dömötör ,  Pogány Ádám ,  Poronyi Gábor ,  Salamon Gábor ,  Szabó Gábor ,  Szabó-Turák Dávid ,  Szita István ,  Szűcs Gábor ,  Taraza Abir ,  Terék Zsolt ,  Terpai Tamás ,  Tóth Ádám ,  Vaik Zsuzsanna ,  Várady Gergő ,  Várkonyi Péter ,  Végh László ,  Zábrádi Gergely 
Füzet: 1997/október, 415. oldal  PDF file
Témakör(ök): Indirekt bizonyítási mód, Irracionális számok és tulajdonságaik, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1996/december: F.3149

Bizonyítsuk be, hogy ha a, b és c egész számok és 43a+23b+c=0, akkor a=b=c=0.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Tételezzük fel, hogy az a, b, c egészekre

43a+23b=-c.(1)
(1)-et négyzetre emelve:
223a2+43b2+4ab=c2(2)
adódik.
Az (1) 2a2-szereséből vonjuk ki (2) b-szeresét.
243a3-43b3-4ab2=-2ca2-c2b.
Rendezve:
43(2a3-b3)=4ab2-2a2c-bc2.
Tegyük fel, hogy 2a3-b30. Ekkor
43=4ab2-2a2c-bc22a3-b3.
A fenti egyenlőség jobb oldalán csak racionális szám állhat. De 43 irracionális, így ellentmondásra jutottunk. Tehát
2a3-b3=0.
Ekkor vagy ba=23 vagy a=b=0.
23 azonban irracionális, így csak az a=b=0 eset állhat fenn. Ebből (1) szerint c értéke is 0.
 Vaik Zsuzsanna (Budapest, Berzsenyi D. Gimn., III. o.t.) dolgozata alapján