Kezdőlap


Feladat:	F.3143	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Barát Anna , Bérczi Gergely , Berki Csaba , Brezovich László , Czirok Levente , Dályay Virág , Deli Lajos , Felföldi Zsolt , Gáspár Merse Előd , Györkei Györgyi , Hajdufi Péter , Hangya Balázs , Hesz Zoltán , Horváth Gábor , Jáger Márta , Jakabfy Tamás , Katona Zsolt , Lázár Zsófia , Lenk Sándor , Lippner Gábor , Lukács László , Méder Áron , Megyeri Csaba , Németh Balázs , Nyul Gábor , Orbán György , Páles Csaba , Papp Dávid , Patakfalvi Zsolt , Pintér Dömötör , Prause István , Prohászka Benedek , Rudolf Gábor , Salamon Gábor , Serény András , Szabó Gábor , Szalai-Dobos András , Szécsi Vajk , Szűcs Gábor , Terpai Tamás , Tisch Dávid , Vaik Zsuzsanna , Várkonyi Péter , Vincze László , Zábrádi Gergely , Zawadowski Ádám , Zöldy Balázs
Füzet:	1997/október, 414 - 415. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Természetes számok, Exponenciális egyenletek, Exponenciális függvények, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1996/november: F.3143

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Először azt bizonyítjuk be, hogy ha $k$ 4-nél nagyobb, akkor $11^{k} > 10^{k} + 9^{k} + 1^{k}$ . Ez ekvivalens azzal, hogy

\begin{matrix} 1 > {(\frac{10}{11})}^{k} + {(\frac{9}{11})}^{k} + {(\frac{1}{11})}^{k} . \end{matrix}

Felhasználva azt, hogy az

x \mapsto a^{x}

függvény szigorúan monoton csökken, ha

0 < a < 1

, kapjuk:

\begin{matrix} {(\frac{10}{11})}^{k} \leq {(\frac{10}{11})}^{5} < 0,621, {(\frac{9}{11})}^{k} \leq {(\frac{9}{11})}^{5} < 0,367, {(\frac{1}{11})}^{k} \leq {(\frac{1}{11})}^{5} < 0,001, \end{matrix}

k \geq 5

esetén. Innen:

\begin{matrix} {(\frac{10}{11})}^{k} + {(\frac{9}{11})}^{k} + {(\frac{1}{11})}^{k} < 0,621 + 0,367 + 0,001 = 0,989 < 1. \end{matrix}

Tehát, ha

k \geq 5

, akkor

5^{k} + 6^{k} + 11^{k} > 10^{k} + 9^{k} + 1

. Vagyis a feladatnak csak 0, 1, 2, 3 vagy 4 lehet a megoldása. Ezt az öt esetet ellenőrizve

k = 0

, 2, 4-et kapjuk megoldásként.

Jáger Márta (Budapest, Veres Pálné Gimn., IV. o.t.) dolgozata alapján