Feladat: F.3143 Korcsoport: 18- Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Barát Anna ,  Bérczi Gergely ,  Berki Csaba ,  Brezovich László ,  Czirok Levente ,  Dályay Virág ,  Deli Lajos ,  Felföldi Zsolt ,  Gáspár Merse Előd ,  Györkei Györgyi ,  Hajdufi Péter ,  Hangya Balázs ,  Hesz Zoltán ,  Horváth Gábor ,  Jáger Márta ,  Jakabfy Tamás ,  Katona Zsolt ,  Lázár Zsófia ,  Lenk Sándor ,  Lippner Gábor ,  Lukács László ,  Méder Áron ,  Megyeri Csaba ,  Németh Balázs ,  Nyul Gábor ,  Orbán György ,  Páles Csaba ,  Papp Dávid ,  Patakfalvi Zsolt ,  Pintér Dömötör ,  Prause István ,  Prohászka Benedek ,  Rudolf Gábor ,  Salamon Gábor ,  Serény András ,  Szabó Gábor ,  Szalai-Dobos András ,  Szécsi Vajk ,  Szűcs Gábor ,  Terpai Tamás ,  Tisch Dávid ,  Vaik Zsuzsanna ,  Várkonyi Péter ,  Vincze László ,  Zábrádi Gergely ,  Zawadowski Ádám ,  Zöldy Balázs 
Füzet: 1997/október, 414 - 415. oldal  PDF file
Témakör(ök): Természetes számok, Exponenciális egyenletek, Exponenciális függvények, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1996/november: F.3143

Adjuk meg az összes olyan k természetes számot, amelyre
1k+9k+10k=5k+6k+11k(4)
teljesül.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Először azt bizonyítjuk be, hogy ha k  4-nél nagyobb, akkor 11k>10k+9k+1k. Ez ekvivalens azzal, hogy

1>(1011)k+(911)k+(111)k.
Felhasználva azt, hogy az xax függvény szigorúan monoton csökken, ha 0<a<1, kapjuk:
(1011)k(1011)5<0,621,(911)k(911)5<0,367,(111)k(111)5<0,001,
k5 esetén. Innen:
(1011)k+(911)k+(111)k<0,621+0,367+0,001=0,989<1.
Tehát, ha k5, akkor 5k+6k+11k>10k+9k+1. Vagyis a feladatnak csak 0, 1, 2, 3 vagy 4 lehet a megoldása. Ezt az öt esetet ellenőrizve k=0, 2, 4-et kapjuk megoldásként.
 Jáger Márta (Budapest, Veres Pálné Gimn., IV. o.t.) dolgozata alapján