A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. A feladatban fel fogjuk használni, hogy ha , , , racionális számok, és , akkor és . Ha , ez nyilvánvalóan igaz, különben pedig , ami nem lehet, mert irracionális, viszont racionális. A egyenletet négyzetre emelve és rendezve kapjuk: Tehát biztosan felírható alakban, ahol és egész. Ekkor: és . | | amiből , . egész, ezért vagy páros, vagyis vagy egész. Ha egész, is egész, azaz páros, így is egész. Ha egész, is egész, azaz páros, így is egész. Összefoglalva: ahol és egész. | |
I. eset: Ekkor , amiből vagy . Ha , , , azaz , , azaz . Ha , , , , azaz , , azaz . Most két megoldást találtunk: , és , . II. eset: Ekkor egész, így irracionális, azaz nem egész. Az egyenlőtlenségből következik, hogy , , | , | , | . |
Átalakításaink ekvivalens volta miatt, ezek valóban megfelelnek a feladat feltételeinek. Összefoglalva: , , , ahol tetszőleges nem nulla egész. Ezen kívül megoldás még az I. esetben talált , és , is.
Várkonyi Péter (Fazekas M. Főv. Gyak. Gimn., IV. o.t.) |
|