Feladat: F.3138 Korcsoport: 18- Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Gyenes Zoltán ,  Helesfai Gábor ,  Juhász András ,  Lippner Gábor ,  Páles Csaba ,  Prause István ,  Szabó Péter ,  Szita István ,  Terpai Tamás ,  Várkonyi Péter ,  Zábrádi Gergely 
Füzet: 1997/március, 166 - 167. oldal  PDF file
Témakör(ök): Egyenletek, Oszthatósági feladatok, Számhalmazok, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1996/október: F.3138

Oldjuk meg a
x+y2+u+v2=1(5)
egyenletet az egész számok körében.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A feladatban fel fogjuk használni, hogy ha a, b, c, d racionális számok, és a+b2=c+d2, akkor a=c és b=d. Ha b=d, ez nyilvánvalóan igaz, különben pedig 2=a-cd-b, ami nem lehet, mert 2 irracionális, a-cd-b viszont racionális.
A u+v2=1-x+y2 egyenletet négyzetre emelve és rendezve kapjuk:

x+y2=1+x-u+(y-v)22.
Tehát x+y2 biztosan felírható 2m2+2n22 alakban, ahol 2m és 2n egész.
Ekkor: 2m=1+x-u és 2n=y-v.
x+y2=m+n2,x+y2=m2+2n2+2mn2,
amiből x=m2+2n2, y=2mn.
y=12(2m)(2n) egész, ezért 2m vagy 2n páros, vagyis m vagy n egész.
Ha m egész, x-m2=12(2n)2 is egész, azaz 2n páros, így n is egész.
Ha n egész, x-2n2=14(2m)2 is egész, azaz 2m páros, így m is egész.
Összefoglalva: x+y2=m+n2 ahol m és n egész.
0x+y2=m+n2x+y2+u+v2=1,azaz0m+n21.

I. eset: n=0
Ekkor 0m1, amiből m=0 vagy m=1.
Ha m=0, x=m2+2n2=0, y=2mn=0, 2m=1+x-u azaz u=1, 2n=y-v, azaz v=0.
Ha m=1, x=m2+2n2=1, y=2mn=0, 2m=1+x-u, azaz u=0, 2n=y-v, azaz v=0.
Most két megoldást találtunk: u=1, x=y=v=0 és x=1, y=u=v=0.
II. eset: n0
Ekkor n egész, így 2n irracionális, azaz nem egész. Az 0m+n21 egyenlőtlenségből következik, hogy m=-[2n],
 x=m2+2n2=2n2+[2n]2, y=2mn=-2n[2n],
 u=1+x-2m=2n2+(1+[2n])2, v=y-2n=-2n(1+[2n]).

Átalakításaink ekvivalens volta miatt, ezek valóban megfelelnek a feladat feltételeinek.
Összefoglalva:  x=2n2+[2n]2,  y=-2n[2n],  u=2n2+(1+[2n])2,
v=-2n(1+[2n]) ahol n tetszőleges nem nulla egész. Ezen kívül megoldás még az I. esetben talált u=1, x=y=v=0 és x=1, y=v=u=0 is.
 Várkonyi Péter (Fazekas M. Főv. Gyak. Gimn., IV. o.t.)