Kezdőlap


Feladat:	F.3133	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Katona Zsolt , Ötvös Gergely
Füzet:	1997/február, 87 - 88. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Négyzetek, Terület, felszín, Hossz, kerület, Elsőfokú (és arra visszavezethető) egyenlőtlenségek, Irracionális egyenlőtlenségek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1996/szeptember: F.3133

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. A négyzetek oldalát

a_{i}

-vel jelölve elegendő azt igazolni, hogy

a_{1} + a_{2} + a_{3} \leq a_{4} \cdot \sqrt[]{3}

. Ehhez elég megmutatni, hogy

{(a_{1} + a_{2} + a_{2})}^{2} \leq 3 a_{4}^{2}

. Felhasználva, hogy

a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + a_{3}^{2} = a_{4}^{2}

, azt kell bizonyítanunk, hogy

\begin{matrix} a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + a_{3}^{2} + 2 a_{1} a_{2} + 2 a_{1} a_{3} + 2 a_{2} a_{3} \leq 3 (a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + a_{3}^{2}), \end{matrix}

amelyből kevés számolással:

\begin{matrix} 0 \leq {(a_{1} - a_{2})}^{2} + {(a_{2} - a_{3})}^{2} + {(a_{1} - a_{3})}^{2}, \end{matrix}

ami nyilvánvaló. Mivel a számítás lépései megfordíthatók, a feladat állítását bebizonyítottuk.

Ötvös Gergely (Veszprém, Lovassy L. Gimn., IV. o.t.)

II. megoldás. A számtani és négyzetes közép közötti egyenlőtlenség szerint

\begin{matrix} \frac{a_{1} + a_{2} + a_{3}}{3} \leq \sqrt[]{\frac{a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + a_{3}^{2}}{3}}, \end{matrix}

amiből

4 (a_{1} + a_{2} + a_{3}) \leq 4 \cdot \sqrt[]{3} \sqrt[]{a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + a_{3}^{2}} = 4 \cdot \sqrt[]{3} \cdot a_{4}

, és ez éppen a feladat állítása.

Katona Zsolt (Budapest, Fazekas M. Gimn., III. o.t.)