Feladat: F.3133 Korcsoport: 18- Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):  Katona Zsolt ,  Ötvös Gergely 
Füzet: 1997/február, 87 - 88. oldal  PDF file
Témakör(ök): Négyzetek, Terület, felszín, Hossz, kerület, Elsőfokú (és arra visszavezethető) egyenlőtlenségek, Irracionális egyenlőtlenségek, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1996/szeptember: F.3133

A t1, t2, t3, t4 területű négyzetek kerülete k1, k2, k3, k4, és tudjuk, hogy t1+t2+t3=t4. Igazoljuk, hogy k1+k2+k3k43.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

 
I. megoldás. A négyzetek oldalát ai-vel jelölve elegendő azt igazolni, hogy a1+a2+a3a43. Ehhez elég megmutatni, hogy (a1+a2+a2)23a42. Felhasználva, hogy a12+a22+a32=a42, azt kell bizonyítanunk, hogy
a12+a22+a32+2a1a2+2a1a3+2a2a33(a12+a22+a32),
amelyből kevés számolással:
0(a1-a2)2+(a2-a3)2+(a1-a3)2,
ami nyilvánvaló. Mivel a számítás lépései megfordíthatók, a feladat állítását bebizonyítottuk.
 Ötvös Gergely (Veszprém, Lovassy L. Gimn., IV. o.t.)

 
II. megoldás. A számtani és négyzetes közép közötti egyenlőtlenség szerint
a1+a2+a33a12+a22+a323,
amiből 4(a1+a2+a3)43a12+a22+a32=43a4, és ez éppen a feladat állítása.
 Katona Zsolt (Budapest, Fazekas M. Gimn., III. o.t.)