Kezdőlap


Feladat:	F.3120	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Bérczi Gergely , Braun Gábor , Brezovich László , Frenkel Péter , Gyenes Zoltán , Győri Nikolett , Gyukics Mihály , Hegyi Barnabás , Jeszenszky Gyula , Kiss Ádám , Krajcsovicz Éva , Lippner Gábor , Lolbert Tamás , Makai Márton , Méder Áron , Négyessy Katalin , Nyakas Péter , Pintér Dömötör , Rozmán András , Sánta Zsuzsa , Szabó Jácint , Szilágyi Judit , Szobonya László , Terpai Tamás , Varga Áron , Vörös Zoltán , Zakariás Ildikó
Füzet:	1997/január, 23. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egész együtthatós polinomok, Maradékos osztás, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1996/április: F.3120

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az, hogy a polinom legfeljebb másodfokú, azt jelenti, hogy alkalmas $A$ , $B$ , $C$ , $D$ , $E$ , $F$ valós (nem feltétlenül egész!) számokkal

\begin{matrix} P (x; y) = A x^{2} + B x y + C y^{2} + D x + E y + F . \end{matrix}

Behelyettesítéssel könnyen ellenőrizhető, hogy

\begin{matrix} \begin{matrix} P (1; 1) - 2 P (1; 2) + P (1; 3) - 2 P (2; 1) + 4 P (2; 2) - \\ - 2 P (2; 3) + P (3; 1) - 2 P (3; 2) + P (3; 3) = 0. \end{matrix} \end{matrix}

Ebben az összegben csak egész számok szerepelnek, és mindegyik együttható

3

-mal osztva

1

maradékot ad. Ebből következik, hogy

\begin{matrix} \begin{matrix} 0 = P (1; 1) - 2 P (1; 2) + P (1; 3) - 2 P (2; 1) + 4 P (2; 2) - \\ - 2 P (2; 3) + P (3; 1) - 2 P (3; 2) + P (3; 3) \equiv \\ \equiv P (1; 1) + P (1; 2) + P (1; 3) + P (2; 1) + P (2; 2) + P (2; 3) + P (3; 1) + P (3; 2) + P (3; 3) = \\ = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 10 = 46 (mod 3) . \end{matrix} \end{matrix}

Ez viszont ellentmondás. Nem létezik tehát a feltételeknek megfelelő polinom.

Megjegyzés. Akik feltételezték, hogy a polinom együtthatói egészek, 2 pontot kaptak.