Feladat: F.3120 Korcsoport: 18- Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Bérczi Gergely ,  Braun Gábor ,  Brezovich László ,  Frenkel Péter ,  Gyenes Zoltán ,  Győri Nikolett ,  Gyukics Mihály ,  Hegyi Barnabás ,  Jeszenszky Gyula ,  Kiss Ádám ,  Krajcsovicz Éva ,  Lippner Gábor ,  Lolbert Tamás ,  Makai Márton ,  Méder Áron ,  Négyessy Katalin ,  Nyakas Péter ,  Pintér Dömötör ,  Rozmán András ,  Sánta Zsuzsa ,  Szabó Jácint ,  Szilágyi Judit ,  Szobonya László ,  Terpai Tamás ,  Varga Áron ,  Vörös Zoltán ,  Zakariás Ildikó 
Füzet: 1997/január, 23. oldal  PDF file
Témakör(ök): Egész együtthatós polinomok, Maradékos osztás, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1996/április: F.3120

Létezik-e olyan P(x,y) legfeljebb másodfokú polinom, amely az {1,2,3}×{1,2,3} halmazon az 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10 értékeket veszi fel, mindegyiket pontosan egyszer?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az, hogy a polinom legfeljebb másodfokú, azt jelenti, hogy alkalmas A, B, C, D, E, F valós  (nem feltétlenül egész!) számokkal

P(x;y)=Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F.
Behelyettesítéssel könnyen ellenőrizhető, hogy
P(1;1)-2P(1;2)+P(1;3)-2P(2;1)+4P(2;2)--2P(2;3)+P(3;1)-2P(3;2)+P(3;3)=0.
Ebben az összegben csak egész számok szerepelnek, és mindegyik együttható 3-mal osztva 1 maradékot ad. Ebből következik, hogy
0=P(1;1)-2P(1;2)+P(1;3)-2P(2;1)+4P(2;2)--2P(2;3)+P(3;1)-2P(3;2)+P(3;3)P(1;1)+P(1;2)+P(1;3)+P(2;1)+P(2;2)+P(2;3)+P(3;1)+P(3;2)+P(3;3)==1+2+3+4+5+6+7+8+10=46(mod3).
Ez viszont ellentmondás. Nem létezik tehát a feltételeknek megfelelő polinom.
 

Megjegyzés. Akik feltételezték, hogy a polinom együtthatói egészek, 2 pontot kaptak.