Feladat: C.441 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):  Újhegyi Tamara 
Füzet: 1997/március, 153 - 154. oldal  PDF file
Témakör(ök): Számjegyekkel kapcsolatos feladatok, Tizes alapú számrendszer, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1996/október: C.441

Jóska ‐ az autók rendszámait figyelve ‐ érdekes háromjegyű számot látott. A számot a jegyei közé tett vonallal úgy lehetett kettévágni, hogy a keletkezett két szám szorzatának háromszorosa visszaadta az eredeti számot. Keressük meg az összes ilyen tulajdonságú háromjegyű számot.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelöljük a háromjegyű számot a szokásos módon 100a+10b+c-vel, ahol a0 és 0b, c9. A kettévágást kétféleképpen végezhetjük: vagy úgy, hogy az eleje egy kétjegyű szám, a vége egy egyjegyű szám legyen, vagy fordítva.
Az első esetben a feladat szövege szerint fennáll a következő egyenlőség:

3(10a+b)c=100a+10b+c.
Átrendezve kapjuk, hogy
(10a+b)(3c-10)=c.
3c-100, mert c egész szám és 10a+b biztosan kétjegyű (a0), így c sem lehet 0. De akkor egy kétjegyű számot szorozva egy nem nulla egésszel nem kaphatunk egyjegyű számot. Vagyis ebben az esetben nincs megoldása a feladatnak.
Ha viszont úgy vágjuk ketté a számot, hogy az eleje egyjegyű, akkor a
3(10b+c)a=100a+10b+c
egyenlethez jutunk.
Szorzattá alakítva
(3a-1)(10b+c)=100a.

Ez csak akkor lesz egész, ha 3a-1 osztója 100-nak, mivel a-nak és (3a-1)-nek nincs 1-nel nagyobb közös osztója. Könnyű belátni, hogy ez csak a=1, a=2 és a=7 esetén teljesül.
Ha a=1, akkor 10b+c=1002=50, azaz b=5 és c=0. A háromjegyű szám 150 és valóban 5031=150.
Ha a=2, akkor 10b+c=2005=40, b=4 és c=0. A háromjegyű szám 240, és 4032=240.
Végül ha a=7, 10b+c=70020=35, b=3, c=5, és a háromjegyű szám 735. 
(Valóban 3537=735).
Több megoldás nincs.
 Újhelyi Tamara (Zalaegerszeg, Zrínyi M. Gimn., IV.o.t.)

 
Megjegyzés. Két beküldő csak számítógépes programot küldött. A szeptemberi versenykiírás szerint csupán számítógépes programot nem fogadunk el megoldásként. (L. 1996/6. szám 360. old.)