Kezdőlap


Feladat:	C.435	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Fejős Ibolya , Gáspár László , Hajdufi Péter , Horváth Gábor , Maraffai Tamás , Méder Áron , Oláh Tünde , Pálóczi Anita , Szilasi Zoltán , Terpai Tamás , Tirpák Miklós , Tóth Gábor , Verbovszki Andrea
Füzet:	1997/január, 14 - 15. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Négyzetek, Kör geometriája, Hossz, kerület, Szélsőérték-feladatok differenciálszámítás nélkül, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1996/május: C.435

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Kövessük az ábra jelöléseit. Az $A$ csúcstól a $B$ csúcsig szeretnénk eljutni a lehető legrövidebb úton. Az $A B$ átlóra való szimmetria alapján feltehető, hogy nem keresztezzük ezt az átlót. Ha utunk során érintjük a $H$ pontot, akkor a megtett út $A$ ‐ $H$ ‐ $B$ , amelynek a hossza $2 a$ . Egyébként a $G$ ponton kell áthaladnunk, ami azt jelenti, hogy mindenképpen meg kell tennünk az $E$ ‐ $G$ ‐ $J$ utat. Ez éppen a körvonal negyedrésze, hossza tehát $\frac{d π}{4}$ . Ezen kívül az $A$ ‐ $F$ ‐ $E$ és $A$ ‐ $D$ ‐ $E$ , illetve a $J$ ‐ $I$ ‐ $B$ és $J$ ‐ $L$ ‐ $B$ valamelyikén kell végighaladnunk. Ez négy lehetőséget jelentene. Annak az útnak a hossza viszont, amelynek során az $F$ és $L$ , illetve a $D$ és $J$ pontokon haladunk át, biztosan a másik két út hossza között van, ezért elegendő az $A$ ‐ $F$ ‐ $E$ ‐ $J$ ‐ $I$ ‐ $B$ és az $A$ ‐ $D$ ‐ $L$ ‐ $B$ utakat figyelembe venni. Ezek hosszának kiszámításához az $| A F | = | I B |$ , az $| F E | = | J I |$ és az $| A D | = | L B |$ szakaszok hosszára van szükségünk. Ezek rendre (ebben a sorrendben) $\frac{a}{2}$ , $\frac{a - d}{2}$ , illetve $\frac{a \sqrt[]{2} - d}{2}$ . Ennek megfelelően a három szóbajövő út hossza:
(1) Végig a négyzet oldala mentén haladunk. Az út hossza

\begin{matrix} A H + H B = 2 a . \end{matrix}

(2) Először a négyzet oldala mentén megyünk a felezőpontig, onnan a kör középpontja felé, majd a körvonalon a

J

pontig, s onnan újra kívül. A megtett út:

\begin{matrix} A F + F E + E J + J I + I B = 2 (\frac{a}{2} + \frac{a - d}{2}) + \frac{d π}{4} = 2 a - d + \frac{d π}{4} . \end{matrix}

(3) Az átló mentén a körig haladunk, majd egy félkör megtétele után újra az átlón a csúcsig. Most a megtett út:

\begin{matrix} A D + D L + L B = 2 (\frac{a \sqrt[]{2} - d}{2}) + \frac{d π}{2} = a \sqrt[]{2} - d + \frac{d π}{2} . \end{matrix}

Mivel

π < 4

, azért a (2) alatti út hossza:

2 a - d + \frac{d π}{4} < 2 a - d + d = 2 a

, vagyis az (1) alatti út nem lehet a legrövidebb. A másik két lehetőség összehasonlítása végett vonjuk ki a (2) alatti mennyiségből a (3) alattit:

\begin{matrix} (2 a - d + \frac{d π}{4}) - (a \sqrt[]{2} - d + \frac{d π}{2}) = a (2 - \sqrt[]{2}) - \frac{d π}{4} . \end{matrix}

A (2) alatti út tehát pontosan akkor hosszabb a (3) alatti útnál, ha a különbség pozitív, azaz, ha

a (2 - \sqrt[]{2}) > \frac{d π}{4}

. Ezt átalakítva a

\begin{matrix} \frac{d}{a} < \frac{4 (2 - \sqrt[]{2})}{π} \approx 0,746 \end{matrix}

feltételhez jutunk.
Ha tehát a virágágy átmérője a park oldalának kb. háromnegyedénél hosszabb, akkor a ,,külső'' utat célszerű választani; egyébként pedig az a rövidebb, ha bemegyünk a virágágyig. (De a virágágyba bemenni és a virágokat letaposni rossz ízlésre vall.)