Kezdőlap


Feladat:	C.433	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1996/december, 517 - 518. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Indirekt bizonyítási mód, Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletrendszerek, Paraméteres egyenletrendszerek, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1996/május: C.433

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Tegyük fel, hogy van olyan $x$ , $y$ pozitív egész szám, amelyre teljesül, hogy

\begin{matrix} n + 1 = x^{2} és 4 n + 1 = y^{2} . \end{matrix}

Fejezzük ki

n

-et az első egyenletből, és helyettesítsük be a kapott kifejezést a második egyenletbe:

\begin{matrix} 4 (x^{2} - 1) + 1 = y^{2}, \end{matrix}

rendezve az egyenletet

\begin{matrix} 4 x^{2} - y^{2} = 3. \end{matrix}

Alakítsuk a bal oldalt szorzattá:

\begin{matrix} (2 x + y) (2 x - y) = 3; \end{matrix}

itt

2 x + y > 0

miatt

2 x - y = \frac{3}{2 x + y} > 0

.
Mivel 3 csak egyféleképpen bontható fel két pozitív egész szám szorzatára, ezért

\begin{matrix} vagy \begin{matrix} 2 x + y = 1 és \\ 2 x - y = 3, \end{matrix} vagy \begin{matrix} 2 x + y = 3 és \\ 2 x - y = 1. \end{matrix} \end{matrix}

Az első esetben

x = 1

y = - 1 < 0

, a második esetben

x = 1

y = 1

, amiből

n = 0

következik, ez nem pozitív egész.
Tehát

n + 1

és

4 n + 1

nem lehetnek egyszerre négyzetszámok.