Kezdőlap


Feladat:	C.430	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Kálmán Barnabás
Füzet:	1996/október, 408. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Paraméteres egyenletek, Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Elsőfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Polinomok szorzattá alakítása, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1996/április: C.430

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Alakítsuk szorzattá az egyenlet bal oldalát:

\begin{matrix} \begin{matrix} x^{3} - t x^{2} - t x^{2} + t^{3} & = x^{2} (x - t) - t (x^{2} - t^{2}) = x^{2} (x - t) - t (x - t) (x + t) = \\ = (x - t) (x^{2} - t (x + t)) = 0. \end{matrix} \end{matrix}

Egy szorzat akkor és csak akkor 0, ha valamelyik tényezője 0.
Így vagy

x - t = 0

, azaz

x = t

, vagy

(x^{2} - t (x + t)) = 0

, ez

x

-re egy másodfokú egyenlet, amelynek gyökei:

\begin{matrix} x_{1} = \frac{t + t \sqrt[]{5}}{2}, x_{2} = \frac{t - t \sqrt[]{5}}{2} . \end{matrix}

Az egyenlet megoldásai tehát

\begin{matrix} t, t \frac{1 + \sqrt[]{5}}{2}, t \frac{1 - \sqrt[]{5}}{2} . \end{matrix}

Kálmán Barnabás (Budapest, ELTE Apáczai Csere J. Gyak. Gimn., IV. o.t.)