Feladat: C.430 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Kálmán Barnabás 
Füzet: 1996/október, 408. oldal  PDF file
Témakör(ök): Paraméteres egyenletek, Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Elsőfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Polinomok szorzattá alakítása, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1996/április: C.430

Oldjuk meg a következő egyenletet, ha t adott valós szám:
x3-2tx2+t3=0.(3)


A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Alakítsuk szorzattá az egyenlet bal oldalát:

x3-tx2-tx2+t3=x2(x-t)-t(x2-t2)=x2(x-t)-t(x-t)(x+t)==(x-t)(x2-t(x+t))=0.

Egy szorzat akkor és csak akkor 0, ha valamelyik tényezője 0.
Így vagy x-t=0, azaz x=t, vagy (x2-t(x+t))=0, ez x-re egy másodfokú egyenlet, amelynek gyökei:
x1=t+t52,x2=t-t52.

Az egyenlet megoldásai tehát
t,t1+52,t1-52.

 Kálmán Barnabás (Budapest, ELTE Apáczai Csere J. Gyak. Gimn., IV. o.t.)