Kezdőlap


Feladat:	C.429	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Kunszenti-Kovács Dávid , Megyeri Csaba , Nagy István
Füzet:	1996/december, 516. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Számsorozatok, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1996/április: C.429

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Írjuk fel a sorozat néhány tagját, felhasználva a képzési szabályt:

\begin{matrix} a_{1} = \frac{a_{1}}{1 + 0 \cdot a_{1}} = a_{1}, a_{2} = \frac{a_{1}}{1 + a_{1}}, a_{3} = \frac{a_{1}}{1 + 2 a_{1}}, ... \end{matrix}

Az előbb kapott kifejezéseket (2) bal oldalába helyettesítve kapjuk, hogy

\begin{matrix} \begin{matrix} a_{1} \frac{a_{1}}{1 + a_{1}} + \frac{a_{1}}{1 + a_{1}} \cdot \frac{a_{1}}{1 + 2 a_{1}} + ... + \frac{a_{1}}{1 (n - 2) a_{1}} \cdot \frac{a_{1}}{1 + (n - 1) a_{1}} = \\ = a_{1} (\frac{a_{1}}{1 + a_{1}} + \frac{1}{1 + a_{1}} \cdot \frac{a_{1}}{1 + 2 a_{1}} + ... + \frac{1}{1 + (n - 2) a_{1}} \cdot \frac{a_{1}}{1 + (n - 1) a_{1}}) . \end{matrix} \end{matrix}

Vegyük észre, hogy a zárójelben szereplő szorzatok felírhatók két tört különbségeként, pl.

\begin{matrix} \frac{1}{1 + a_{1}} \cdot \frac{a_{1}}{1 + 2 a_{1}} = \frac{1}{1 + a_{1}} - \frac{1}{1 + 2 a_{1}} . \end{matrix}

Ezt felhasználva kifejezésünk tovább alakítható:

\begin{matrix} \begin{matrix} a_{1} (1 - \frac{1}{1 + a_{1}} + \frac{1}{1 + a_{1}} - \frac{1}{1 + 2 a_{1}} + \frac{1}{1 + 2 a_{1}} - \frac{1}{1 + 3 a_{1}} + ... \\ ... + \frac{1}{1 + (n - 2) a_{1}} - \frac{1}{1 + (n - 1) a_{1}}) = \\ = a_{1} (1 - \frac{1}{1 + (n - 1) a_{1}}) = a_{1} \frac{(n - 1) a_{1}}{1 + (n - 1) a_{1}} = a_{1} a_{n} (n - 1), \end{matrix} \end{matrix}

hiszen

\frac{a_{1}}{1 + (n - 1) a_{1}}

éppen

a_{n}

.
Ezzel az állítást igazoltuk.

Kunszenti-Kovács Dávid (Oslo, Lycée Francais René Cassin, 5. o.t.)