Kezdőlap


Feladat:	C.426	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Hegyi Péter
Füzet:	1996/október, 406. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Mértani sorozat, Oszthatósági feladatok, Nevezetes azonosságok, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1996/március: C.426

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A szokásos jelölésekkel

\begin{matrix} a_{1} = 2^{n}, q = \frac{3}{2}, S_{n + 1} = 2^{n} \cdot \frac{{(\frac{3}{2})}^{n + 1} - 1}{\frac{3}{2} - 1} = 3^{n + 1} - 2^{n + 1} . \end{matrix}

Ismeretes, hogy

\begin{matrix} a^{2 k} - b^{2 k} = (a + b) (a^{2 k - 1} - a^{2 k - 2} b + a^{2 k - 3} b^{2} - ... + ... - b^{2 k - 1}), \end{matrix}

azaz

a^{2 k} - b^{2 k}

osztható

a + b

-vel. Esetünkben, ha

n

páratlan, akkor

n + 1

páros, és ezért

3^{n + 1} - 2^{n + 1}

osztható

3 + 2

-val, vagyis 5-tel. Ezzel az állítás első felét igazoltuk.
Másrészt, ha

n = 2 k

(vagyis nem páratlan), akkor

n + 1 = 2 k + 1

, és

\begin{matrix} 3^{2 k + 1} - 2^{2 k + 1} = 3 \cdot 3^{2 k} - 2 \cdot 2^{2 k} = 3 \cdot (3^{2 k} - 2^{2 k}) + 2^{2 k}, \end{matrix}

ez pedig biztosan nem osztható 5-tel.
Ezzel az állítás második felét (a ,,csak akkort'') is igazoltuk.

Hegyi Péter (Budapest, Szent István Gimn., I. o.t.)