Feladat: C.423 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):  Egyed Gábor ,  Monoki Szilvia ,  Pozsonyi Gergő ,  Terpai Tamás ,  Vogl Gábor 
Füzet: 1996/október, 404. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Beírt kör, Pitagorasz-tétel alkalmazásai, Terület, felszín, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1996/február: C.423

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelöljük a beírt kör sugarát r-rel. Felhasználva azt az ismert tételt, hogy egy külső pontból a körhöz húzott érintő szakaszok hossza egyenlő, kapjuk, hogy a háromszög befogói x+r és y+r. Írjuk fel háromszögünkre a Pitagorasz-tételt:

(x+r)2+(y+r)2=(x+y)2.
Rendezés után kapjuk, hogy
r2+rx+ry=xy.
Bal oldalon éppen a háromszög területe áll, amelyet az ábra szerint egy r oldalú négyzetre és 2-2 derékszögű háromszögre bontottunk fel. Ezzel igazoltuk az állítást.