Kezdőlap


Feladat:	C.422	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Megyeri Csaba , Oláh Tünde
Füzet:	1996/október, 403. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Elsőfokú (és arra visszavezethető) egyenlőtlenségek, Polinomok szorzattá alakítása, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1996/február: C.422

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Könnyen ellenőrizhetjük, hogy $n = 1$ megoldása az egyenlőtlenségnek: $1^{3} - 1 < 1!$ , azaz $0 < 1$ igaz. Ugyanakkor az is igazolható, hogy $n = 2$ , 3, 4, 5 nem megoldás. A továbbiakban legyen $n \geq 6$ .
Alakítsuk át szorzattá az egyenlőtlenség jobb és bal oldalán álló kifejezéseket.

\begin{matrix} n^{3} - n = n (n + 1) (n - 1), n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot ... \cdot (n - 2) \cdot (n - 1) \cdot n, \end{matrix}

így egyszerűsítés után kapjuk, hogy

\begin{matrix} n + 1 < (n - 2)! \end{matrix}

(1)

Állítjuk, hogy ez az egyenlőtlenség minden

n \geq 6

egészre teljesül, ugyanis

\begin{matrix} (n - 2)! = 1 \cdot 2 \cdot ... \cdot (n - 3) (n - 2) > (n - 2) (n - 3), \end{matrix}

és már az

\begin{matrix} n + 1 < (n - 2) (n - 3) \end{matrix}

egyenlőtlenség is minden

n \geq 6

esetén teljesül, hiszen

(n - 2) (n - 3) - (n + 1) = n^{2} - 6 n + 5 = (n - 1) (n - 5) > 0

.
Az egyenlőtlenség megoldásai tehát az

n = 1

és az

n \geq 6

Megyeri Csaba (Nagykanizsa, Batthyány L. Gimn., III. o.t.)