Feladat: C.422 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Megyeri Csaba ,  Oláh Tünde 
Füzet: 1996/október, 403. oldal  PDF file
Témakör(ök): Elsőfokú (és arra visszavezethető) egyenlőtlenségek, Polinomok szorzattá alakítása, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1996/február: C.422

Oldjuk meg a pozitív egész számok halmazán az n3-n<n! egyenlőtlenséget. (n! az 1-től n-ig terjedő egész számok szorzatát jelenti.)

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Könnyen ellenőrizhetjük, hogy n=1 megoldása az egyenlőtlenségnek: 13-1<1!, azaz 0<1 igaz. Ugyanakkor az is igazolható, hogy n=2, 3, 4, 5 nem megoldás. A továbbiakban legyen n6.
Alakítsuk át szorzattá az egyenlőtlenség jobb és bal oldalán álló kifejezéseket.

n3-n=n(n+1)(n-1),n!=123...(n-2)(n-1)n,
így egyszerűsítés után kapjuk, hogy
n+1<(n-2)!(1)
Állítjuk, hogy ez az egyenlőtlenség minden n6 egészre teljesül, ugyanis
(n-2)!=12...(n-3)(n-2)>(n-2)(n-3),
és már az
n+1<(n-2)(n-3)
egyenlőtlenség is minden n6 esetén teljesül, hiszen (n-2)(n-3)-(n+1)=n2-6n+5=(n-1)(n-5)>0.
Az egyenlőtlenség megoldásai tehát az n=1 és az n6.
 Megyeri Csaba (Nagykanizsa, Batthyány L. Gimn., III. o.t.)