Kezdőlap


Feladat:	C.417	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Füzet:	1996/szeptember, 349. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Számjegyekkel kapcsolatos feladatok, Elsőfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1996/január: C.417

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelöljük a négyjegyű szám jegyeit rendre $a$ , $b$ , $c$ , $d$ -vel, ahol $a$ áll az ezresek helyén. Mivel valódi négyjegyű számról van szó, $a \neq 0$ és $a \leq 9$ , valamint $0 \leq b, c, d \leq 9$ . A feladat feltételeit egyenletbe felírva:

\begin{matrix} \begin{matrix} a + b & = c + d, & (I.) \\ b + d & = 2 (a + c), & (II.) \\ a + d & = c, & (III.) \\ b + c - a & = 3 d & (IV.) \end{matrix} \end{matrix}

egyenletrendszerhez jutunk.

A III. egyenletből $c$ -t helyettesítve IV.-be kapjuk, hogy	$b = 2 d$ ,
ezt és III.-ból $c$ -t helyettesítve II.-be	$d = 4 a$ .
$b$ , $c$ és $d$ most kapott értékeit I.-be beírva az	$a + 2 d = a + 2 d$

azonossághoz jutunk, ami azt jelenti, hogy az egyenleteink nem függetlenek egymástól.
Valóban, ha az I. és IV. egyenlet megfelelő oldalait összeadjuk, összevonás után a

2 c = 2 a + 2 d

egyenlethez jutunk, ez pedig a III. egyenlet kétszerese.
Próbáljuk az egyenletrendszert eddigi ismereteink alapján megoldani.
Tudjuk, hogy

d = 4 a

, és

b = 2 d = 8 a

; ebből következik, hogy

a

csak

1

lehet, hiszen

b \leq 9

. Ha

a = 1

, akkor

b = 8

és

d = 4

, s mivel

a + b = c + d

c = 5

az egyetlen lehetséges érték. A keresett négyjegyű szám tehát egyértelműen meghatározható, és ez az

1854

. Könnyen ellenőrizhetjük, hogy valóban eleget tesz a követelményeknek.