A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás. Mivel és relatív prímek, a , , , , számok teljes maradékrendszert alkotnak modulo , ezért létezik pontosan egy olyan egész szám, amelyre . Ha is teljesül, akkor már készen is vagyunk; a perces homokórával lemérünk -szor percet, majd a másik órával a hiányzó néhányszor percet. Ellenkező esetben ez a módszer nem működik, ezért egy másik módszert is mutatunk. Tegyük fel először, hogy páros, . Mérjünk le a perces órával percet, de közben indítsuk el a perces órát is, és amikor lejár, mindig fordítsuk meg. Az mp perc letével a perces óra perce jár, ahol persze . Fordítsuk most meg a perces órát. Feltételezve, hogy a lepergett homok a fordítás után ugyanannyi, tehát perc alatt pereg vissza, a perces óra az -edik perc végén jár le. Mivel , és , így vagy éppen percet mértünk le, vagy még néhányszor perc hiányzik, amit lemérhetünk az éppen lejárt perces órával. Vizsgáljuk most azt az esetet, amikor páratlan, . A perces órával mérjünk le percet. A perces órát a -edik perc végén indítsuk el, amikor lejár, mindig fordítsuk meg. Az perc elteltével a perces órában percnyi homok pergett le, ahol . Most fordítsuk meg a perces órát, amely így az -edik perc végén jár le. Mivel és , ezúttal is kész vagyunk.
II. megoldás. Legyen az az egész szám, amelyre . (Ilyen egyértelműen létezik, mert .) Indítsuk el mindkét homokórát, és amikor valamelyik lejár, fordítsuk meg. Vizsgáljuk meg, mi történik perc elteltével. Mivel , a perces óra éppen lejárt, a perces pedig vagy 1 perce jár, vagy 1 perce van még hátra. Az előbbi esetben fordítsuk meg mindkét, az utóbbi esetben csak a perces órát. Ilyen módon elértük, hogy legfeljebb perc után a perces órában az összes homok a felső tégelyben van, a perces óra pedig 1 perc múlva jár le. Ettől kezdve minden egyes perc leteltét mérhetjük: amikor a perces óra lejár, addigra a percesből éppen 1 percnyi homok pereg le. Mindkét órát megfordítva, az előbbi állapot fordítottja áll elő: a perces órában minden homok a felső tégelyben van, a perces pedig 1 perc múlva jár le.
Frenkel Péter (Fazekas M. Főv. Gyak. Gimn., III. o.t.) |
|
|