A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Bár a feladat szövegéből sajnálatosan kimaradt, nyilván -nél kisebb abszolút értékű főegyütthatóról van szó. Minden pozitív egész -hez konstruálunk megfelelő polinomot. Legyen először , ahol pozitív egész. Definiáljuk az függvényt a következőképpen: Könnyen ellenőrizhető, hogy a definíció kivételével mindenhol értelmes. Mivel és , a függvény a és intervallumokon befutja a félegyenest. Legyen a -adik Csebisev-polinom (ld. az 1. megjegyzést), és tekintsük a függvényt. Ez egy racionális törtfüggvény, amely felírható | | alakban, ahol egy -adfokú egész együtthatós polinom. Mivel -nak különböző gyöke van a intervallumban, , és ezáltal is a és intervallumon egyaránt helyen eltűnik. A tehát olyan -adfokú polinom, amelynek különböző gyöke van -ben. Ugyancsak könnyen ellenőrizhető, hogy főegyütthatója | | Ha , akkor az előbbi polinomot megszorozhatjuk a polinommal, így a főegyüttható az előbbi kétszerese lesz, és egy új gyök keletkezik -ben.
Megjegyzések. 1. A Csebisev-polinom az a kifejezés, ahogyan előáll polinomjaként; azaz . 2. Pap Gyula megoldásában a , , rekurzióval definiált polinomok révén konstruált tetszőleges fokszámú, a feladat követelményeit kielégítő polinomot. |