A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Nyilván , szogorúan monoton nő, , és definíciója alapján . Ezért az , , sorozatok közül semelyik kettőnek nincs közös eleme (ez és esetén nyilvánvaló, esetén és definíciója miatt , esetén pedig miatt .) Bebizonyítjuk, hogy minden -re teljesül az alábbi három állítás valamelyike:
(1) , | , | , | (2) , | , | , | (3) , | , | . |
Ebből a feladat állítása következik. Teljes indukcióval bizonyítunk. -re látható, hogy (2) teljesül. Tegyük fel, hogy 1, 2, , -re igaz, és vizsgáljuk -re. Az -nél kisebb pozitív egészek száma . Másrészt az -nél kisebb pozitív egészek az , , , , , , , , valamint a , , közül azok, amelyek -nél kisebbek. Így . Ha , akkor , így az indukciós feltevés alapján (az egészrész-jelek elhagyása növelést jelent, mert az egészrészben szereplő kifejezést nem egészek). Ezért az -nél kisebb -k száma legalább . Másrészt -re már adódik: . Ezért . Ebből | | Így vagy . értékére hasonló módon következtethetünk: A -nél kisebb pozitív egészek az , , , , , , , valamint a -nél kisebb -k, amelyek száma legalább és legfeljebb , tehát | | Ebből vagy . Így és értékeire az (1), (2), (3) állítások valamelyike teljesül ( nyilván kizárt), és -re is teljesül a megfelelő állítás miatt.
Frenkel Péter (Fazekas M. Főv. Gyak. Gimn., III. o.t.) dolgozata alapján |
|