Kezdőlap


Feladat:	N.80	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Braun Gábor , Frenkel Péter , Gyarmati Katalin , Kutalik Zoltán
Füzet:	1996/december, 540 - 542. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Teljes indukció módszere, Egyenlőtlenségek, Rekurzív sorozatok, Nehéz feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1995/október: N.80

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Nyilván ${a_{n}}$ , ${b_{n}}$ szogorúan monoton nő, $a_{n} < b_{n}$ , és $c_{n}$ definíciója alapján $c_{n} = n + 2 b_{n} - a_{n} = n + (b_{n} - a_{n}) + b_{n} > b_{n}$ . Ezért az ${a_{n}}$ , ${b_{n}}$ , ${c_{n}}$ sorozatok közül semelyik kettőnek nincs közös eleme (ez ${a_{n}}$ és ${b_{n}}$ esetén nyilvánvaló, $m < n$ esetén $a_{n}$ és $b_{n}$ definíciója miatt $a_{n} \neq c_{m} \neq b_{n}$ , $m \geq n$ esetén pedig $c_{m} > b_{m} > a_{m} \geq b_{n} \geq a_{n}$ miatt $a_{n} \neq c_{m} \neq b_{n}$ .)
Bebizonyítjuk, hogy minden $n$ -re teljesül az alábbi három állítás valamelyike:

(1) $a_{n} = [n (1 + \sqrt[]{3})] - 2$ ,	$b_{n} = [n (1 + \sqrt[]{3})] - 1$ ,	$c_{n} = [n (2 + \sqrt[]{3})]$ ,
(2) $a_{n} = [n (1 + \sqrt[]{3})] - 1$ ,	$b_{n} = [n (1 + \sqrt[]{3})]$ ,	$c_{n} = [n (2 + \sqrt[]{3})] + 1$ ,
(3) $a_{n} = [n (1 + \sqrt[]{3})] - 2$ ,	$b_{n} = [n (1 + \sqrt[]{3})]$ ,	$c_{n} = [n (2 + \sqrt[]{3})] + 2$ .

Ebből a feladat állítása következik.
Teljes indukcióval bizonyítunk.

n = 1

-re látható, hogy (2) teljesül. Tegyük fel, hogy 1, 2,

...

n

-re igaz, és vizsgáljuk

n + 1

-re.
Az

a_{n + 1}

-nél kisebb pozitív egészek száma

a_{n + 1} - 1

. Másrészt az

a_{n + 1}

-nél kisebb pozitív egészek az

a_{1}

a_{2}

...

a_{n}

b_{1}

b_{2}

...

b_{n}

, valamint a

c_{1}

...

c_{n}

közül azok, amelyek

a_{n + 1}

-nél kisebbek. Így

a_{n + 1} \leq 3 n + 1

.
Ha

i \leq [\frac{a_{n + 1} - 1}{2 + \sqrt[]{3}}]

, akkor

i \leq [\frac{3 n}{2 + \sqrt[]{3}}] \leq n

, így az indukciós feltevés alapján

c_{i} \leq [i (2 + \sqrt[]{3})] + 2 \leq [[\frac{a_{n + 1} - 1}{2 + \sqrt[]{3}}] (2 + \sqrt[]{3})] + 2 < a_{n + 1} + 1

(az egészrész-jelek elhagyása növelést jelent, mert az egészrészben szereplő kifejezést nem egészek). Ezért az

a_{n + 1}

-nél kisebb

c_{i}

-k száma legalább

[\frac{a_{n + 1} - 1}{2 + \sqrt[]{3}}]

. Másrészt

n \geq i \geq [\frac{a_{n + 1}}{2 + \sqrt[]{3}}]

-re már

c_{i} \geq a_{n + 1}

adódik:

c_{i} \geq [i (2 + \sqrt[]{3})] \geq [a_{n + 1}] = a_{n + 1}

. Ezért

2 n + [\frac{a_{n + 1} - 1}{2 + \sqrt[]{3}}] \leq a_{n + 1} - 1 \leq 2 n + ⌈ \frac{a_{n + 1}}{2 + \sqrt[]{3}} ⌉ - 1

. Ebből

\begin{matrix} \begin{matrix} 2 n + \frac{a_{n + 1} - 1}{2 + \sqrt[]{3}} - 1 < a_{n + 1} - 1 < 2 n + \frac{a_{n + 1}}{2 + \sqrt[]{3}}, \\ 2 n - \frac{1}{2 + \sqrt[]{3}} < a_{n + 1} (1 - \frac{1}{2 + \sqrt[]{3}}) < 2 n + 1, \\ n (1 + \sqrt[]{3}) - \frac{\sqrt[]{3} - 1}{2} < a_{n + 1} < n (1 + \sqrt[]{3}) + \frac{1 + \sqrt[]{3}}{2}, \\ (n + 1) (1 + \sqrt[]{3}) - 3 < a_{n + 1} < (n + 1) (1 + \sqrt[]{3}) - 1. \end{matrix} \end{matrix}

Így

a_{n + 1} = [(n + 1) (1 + \sqrt[]{3})] - 2

vagy

a_{n + 1} = [(n + 1) (1 + \sqrt[]{3})] - 1

b_{n + 1}

értékére hasonló módon következtethetünk:
A

b_{n + 1}

-nél kisebb pozitív egészek az

a_{1}

a_{2}

...

a_{n + 1}

b_{1}

...

b_{n}

, valamint a

b_{n + 1}

-nél kisebb

c_{i}

-k, amelyek száma legalább

[\frac{b_{n + 1} - 1}{2 + \sqrt[]{3}}]

és legfeljebb

⌈ \frac{b_{n + 1}}{2 + \sqrt[]{3}} ⌉ - 1

, tehát

\begin{matrix} \begin{matrix} 2 n + 1 + [\frac{b_{n + 1} - 1}{2 + \sqrt[]{3}}] \leq b_{n + 1} - 1 \leq 2 n + 1 + ⌈ \frac{b_{n + 1}}{2 + \sqrt[]{3}} ⌉ - 1, \\ 2 n + \frac{b_{n + 1} - 1}{2 + \sqrt[]{3}} < b_{n + 1} - 1 < 2 n + 1 + \frac{b_{n + 1}}{2 + \sqrt[]{3}}, \\ 2 n - \frac{1}{2 + \sqrt[]{3}} + 1 < b_{n + 1} (1 - \frac{1}{2 + \sqrt[]{3}}) < 2 n + 2, \\ n (1 + \sqrt[]{3}) + 1 < b_{n + 1} < (n + 1) (1 + \sqrt[]{3}), \\ (n + 1) (1 + \sqrt[]{3}) - 2 < b_{n + 1} < (n + 1) (1 + \sqrt[]{3}) . \end{matrix} \end{matrix}

Ebből

b_{n + 1} = [(n + 1) (1 + \sqrt[]{3})] - 1

vagy

b_{n + 1} = [(n + 1) (1 + \sqrt[]{3})]

.
Így

a_{n + 1}

és

b_{n + 1}

értékeire az (1), (2), (3) állítások valamelyike teljesül (

a_{n + 1} = b_{n + 1}

nyilván kizárt), és

c_{n + 1}

-re is teljesül a megfelelő állítás

c_{n + 1} = (n + 1) + 2 b_{n + 1} - a_{n + 1}

miatt.

Frenkel Péter (Fazekas M. Főv. Gyak. Gimn., III. o.t.) dolgozata alapján