Feladat: N.78 Korcsoport: 18- Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Braun Gábor ,  Formanek Csaba ,  Frenkel Péter ,  Gröller Ákos ,  Kiss Márton ,  Koncz Imre ,  Mátrai Tamás ,  Megyeri Csaba ,  Pap Gyula ,  Terék Zsolt ,  Terpai Tamás ,  Tóth Gábor Zsolt ,  Vörös Zoltán 
Füzet: 1997/január, 33 - 34. oldal  PDF file
Témakör(ök): Geometriai szerkesztések alkalmazása, Nehéz feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1995/október: N.78

Szerkesszük meg egy adott körvonal középpontját csak körző segítségével!

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen az adott k1 körvonal megszerkesztendő középpontja O, a körvonal egy tetszőleges pontja pedig A. Rajzoljunk az A mint középpont körül egy olyan k2 kört, amelynek a sugara az adott körénél kisebb, annak felénél viszont nagyobb; messe ez a kör a k1-et B-ben és C-ben. (k2 megtalálása a szerkesztés egyetlen ,,véletlenszerű'' lépése; többszöri kísérletezéssel, illetve becsléssel oldhatjuk meg, pl. azt, hogy k2 kisebb sugarú-e, mint k1, úgy ellenőrizhetjük, hogy rámérhető-e ‐ ,,maradékkal'' ‐ hatszor a k1-re.) Húzzuk meg ezután a B és C középpontú, egyaránt AB sugarú k3B és k3C köröket. A k1-en belül k3B és k3C metszéspontját D-vel jelöljük. Szerkesszük meg most a D középpontú, DA sugarú k4 kört; k4 és k2 metszéspontjait jelölje G és H.
Megmutatjuk, hogy a G és a H középpontú, GA=HA(=AB) sugarú körök A-tól különböző metszéspontja éppen a keresett O középpont. Jelöljük k1 sugarát R-rel, k2 sugarát r-rel, a DCA szöget pedig α-val. A DCA egyenlő szárú derékszögű háromszögből CDA=CAD=90-α2, így DA=2rsinα2. Az ABC háromszög köré írt kör k1, és az AB=r oldallal szemközti szög α2, ezért R=r2sinα2. Mivel a k3B és k2C körök egymás tükörképei az OA egyenesre vonatkozóan, azért O, D és A egy egyenesen fekszik; így GAD=OAG. Továbbá

GAAD=r2rsinα2=r2sinα2r=OAAG,
tehát az ADG és az AGO háromszögek hasonlóak. Így DA=DG miatt GA=GO (és ugyanígy HA=HO).
 Terpai Tamás (Fazekas M. Főv. Gyak. Gimn., I. o.t.)