A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Megadunk egy relációt a következőképpen. Legyen . Ha a relációt már definiáltuk az 1, 2, , számok között (), akkor tetszőleges egészet és -et véve, írjuk fel őket és alakban, ahol és nemnegatív egészek, és , páratlan számok. (Ilyen felírás nyilván minden pozitív egészre létezik és egyértelmű.) Ha most , akkor legyen , míg esetén legyen . Ha , akkor tekintsük az -nél nem nagyobb (és egymástól különböző) és egészeket; legyen , ha , illetve legyen , ha . Ezzel a relációt bármely két pozitív egész között értelmeztük, és a kívánt a) tulajdonság láthatóan teljesül. Tételezzük fel, hogy a többi követelmény valamelyikét a reláció nem elégíti ki, azaz léteznek olyan , , pozitív egészek, amelyekre , és vagy . Az ilyen számhármasok közül válasszunk egy olyat , , -nek, amelyben a lehető legkisebb. Írjuk fel a számokat , , alakban, ahol , , nemnegatív, , , pedig páratlan egészek. Mivel , azért . 1. eset: ; ekkor . Nyilván osztója -nek, de nem osztója -nek, mivel páratlan. Így , ellentmondva , , választásának. 2. eset: ; ekkor . Ha , akkor , és minimalitása folytán , ezért , továbbá miatt lenne, az indirekt feltevéssel szemben; tehát . Ekkor . Legyen az a legkisebb pozitív egész, amelyre . Nyilván nagyobb -nél és páratlan, viszont akkor . Ez azonban ellentmond minimalitásának, hiszen . Mindkét esetben ellentmondásra jutottunk, tehát a reláció a feladat valamennyi követelményének megfelel.
Braun Gábor (Budapest, Szent István Gimn., III. o.t.) |
|