Kezdőlap


Feladat:	N.76	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Burcsi Péter
Füzet:	1997/január, 31 - 32. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egész együtthatós polinomok, Nehéz feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1995/szeptember: N.76

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Egy polinomnak az 1 pontosan akkor legalább $k$ -szoros gyöke ( $k \geq 1$ egész), ha a polinomon kívül gyöke a polinom első, második, $...$ , $(k - 1)$ -edik deriváltjának is. Tekintsük először mindazokat a polinomokat, amelyeknek minden együtthatója a ${0$ , 1, 2, $...$ , $n}$ halmazból való, és a fokuk legfeljebb $n$ . Ha $p = a_{n} x^{n} + ... + a_{0}$ , akkor a $p$ helyettesítési értéke az 1-ben $p (1) = a_{n} + ... + a_{0}$ , a $p$ $i$ -edik deriváltjának pedig az 1-ben vett helyettesítési értéke

\begin{matrix} p^{(i)} (1) = i! ((\binom{n}{i}) a_{n} + (\binom{n - 1}{i}) a_{n - 1} + ... + (\binom{i}{i}) a_{i}) . \end{matrix}

Nyilván

\begin{matrix} 0 \leq \frac{p^{(i)} (1)}{i!} \leq n ((\binom{n}{i}) + (\binom{n - 1}{i}) + ... + (\binom{i}{i})) = n (\binom{n + 1}{i + 1}) . \end{matrix}

Így

p^{(i)} (1)

legfeljebb

1 + n (\binom{n + 1}{i + 1})

-féle értéket vehet fel, és ez ,,

i = 0

-ra'' is igaz, hiszen

0 \leq p (1) \leq n (n + 1)

. Ezért a fenti

p

polinomhoz tartozó rendezett

\begin{matrix} (p (1), p^{(1)} (1), p^{(2)} (1), ..., p^{(k - 1)} (1)) \end{matrix}

k

-asok

S

száma:

\begin{matrix} \begin{matrix} S & \leq (n (n + 1) + 1) (n (\binom{n + 1}{2}) + 1) ... (n (\binom{n + 1}{k}) + 1) \leq \\ \leq ((n + 1) (n + 1) ((n + 1) (\binom{n + 1}{2})) ... ((n + 1) (\binom{n + 1}{k})) \leq \\ \leq {(n + 1)}^{2} \cdot {(n + 1)}^{3} \cdot ... \cdot {(n + 1)}^{k + 1} = {(n + 1)}^{\frac{k (k + 3)}{2}} \end{matrix} \end{matrix}

(bármely rögzített

1 \leq k \leq n

egészre). Másrészt a polinomok minden együtthatója

(n + 1)

-féle értéket vehet fel, ezért a polinomok száma:

{(n + 1)}^{n + 1} > {(n + 1)}^{\frac{k (k + 3)}{2}} \geq S

, ha

k = [\sqrt[]{n}]

. Így létezik két olyan különböző polinom,

p_{1}

és

p_{2}

, amelyekre

p_{1} (1) = p_{2} (1)

p_{1}^{(1)} (1) = p_{2}^{(1)} (1)

...

p_{1}^{(k - 1)} (1) = p_{2}^{(k - 1)} (1)

(

k = [\sqrt[]{n}]

).
Legyen

q = p_{1} - p_{2}

, ekkor

0 \neq q

minden együtthatója egész és legfeljebb

n

abszolút értékű, továbbá

\begin{matrix} q (1) = q^{(1)} (1) = q^{(2)} (1) = ... = q^{([\sqrt[]{n}] - 1)} (1) = 0. \end{matrix}

Jelölje

q

fokát

d \leq n

, és legyen

r = x^{n - d} q

; ekkor az

r

polinom a feladat valamennyi feltételét kielégíti.

Burcsi Péter (Pápa, Türr István Gimn., IV. o.t.)