|
Feladat: |
N.69 |
Korcsoport: 18- |
Nehézségi fok: nehéz |
Megoldó(k): |
Braun Gábor , Burcsi Péter , Gyarmati Katalin , Izsák Ferenc , Kutalik Zoltán , Pap Gyula , Póczos Barnabás , Sánta Zsuzsa , Séllei Béla , Szádeczky-Kardoss Szabolcs , Tóth Gábor Zsolt , Valkó Benedek |
Füzet: |
1996/február,
100 - 102. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Húrnégyszögek, Harmonikus közép, Nehéz feladat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1995/május: N.69 |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. A feladat állítását tetszőleges négyszögre bizonyítjuk, mégpedig többféle módon. A bizonyításokhoz bevezetünk néhány jelölést. Ha egy egyenesen lévő különböző pontok, akkor jelölje az osztóviszonyt, amit a megoldás során mindig irányított szakaszok hányadosaként értelmezünk, azaz pozitívnak ha az szakasz belső pontja és negatívnak egyébként. Az egy egyenesen lévő pontok kettősviszonya legyen ekkor könnyen látható, hogy vagyis pontosan azt jelenti, hogy harmonikus közepe -nek és -nak. Végezetül nyomban következik, hogy némi fáradsággal pedig
I. megoldás. A háromszögre vonatkozó Menelaosz-tétel megfordítása szerint a bizonyítandó állítás az alakba írható. Másrészt, mivel a pontok egy egyenesen vannak, megint csak a háromszögre vonatkozó Menelaosz-tétel szerint Azt kell tehát igazolnunk, hogy azaz A bevezető megjegyzések szerint a bal oldal | | a jobb oldal pedig | |
Megjegyzések. 1. Nevezzük az egy egyenesen lévő , , pontokat és az ugyancsak egy egyenesen lévő , , pontokat a pontra nézve perspektívnek, ha az , , egyenesek mind átmennek a ponton. Erre a relációra bevezetjük az jelölést. Az előző megoldásban lényegében azt láttuk be, hogy ha , akkor . Ennek az állításnak a többszöri alkalmazásával azt is beláthatjuk, hogy ha jelöli az és a átló metszéspontját, akkor a egyenes megegyezik az egyenessel. Messe ui. a egyenes az -t az pontban, -t az pontban, ekkor vagyis | | Mivel különbözik -től, ezért , tehát csakis lehetséges, amiből következik. Ugyanígy , és ezt akartuk igazolni. 2. Előző eredményünket úgy is fogalmazhatjuk, hogy ha egy négyszög (esetünkben ) 2‐2 szemköztes oldala az és pontokban metszik egymást, akkor a négyszög átlói az egyenest olyan és pontokban metszik, amelyre . Az ilyen pontnégyeseket harmonikusnak hívjuk, ill. azt mondjuk, hogy az és pontpárok harmonikusak egymásra vagy, hogy az (ill. a ) harmonikus társa az és pontokra nézve. A bevezetőbeli megjegyzések alapján ezek a relációk ‐ ahogyan elnevezésük sejteti ‐ tényleg szimmetrikusak a pontpárokban és a pontpárok tagjaiban. Ez a négyszögekkel kapcsolatos észrevétel módot ad a harmonikus pontnégyeseknek a kettősviszony analitikus fogalmától független, ún. szintetikus tárgyalására.
II. megoldás. Mint láttuk, elegendő megmutatnunk, hogy ha két pontnégyes perspektív egymásra, akkor kettősviszonyuk megegyezik. Ez az állítás könnyen visszavezethető arra az esetre, amikor a pontnégyesek utolsó tagjai megegyeznek, vagyis az előző megoldáshoz fűzött megjegyzések ezt az általánosabb állítást is igazolják. Mi most új bizonyítást adunk erre az állításra. Ha és tetszőleges egyenesek, akkor jelölje az általuk bezárt irányított szög szinuszát (tehát ). Tegyük fel, hogy Ha az egyenesek kettősviszonyát | | értelmezi, akkor elegendő belátnunk, hogy hiszen akkor ugyanúgy | | is teljesül. Jelölje az egyenest. Ekkor az irányított háromszögekre vonatkozó szinusztétel többszöri alkalmazásával | |
Ezzel állításunkat igazoltuk.
III. megoldás. Az ideális térelemekkel kibővített euklideszi síkon fogunk dolgozni. Ha a harmonikus pontnégyeseket a négyszögek segítségével (szintetikus úton) vezetjük be, akkor rögtön látszik, hogy egy projektív transzformáció ‐ illeszkedés-tartó lévén ‐ a harmonikus pontnégyeseket harmonikusakba viszi át. A paralelogramma példája mutatja, hogy egy ideális pont harmonikus társa egy pontpárra nézve az szakasz felezőpontja. Az ABCD négyszöget ezért érdemes projektív transzformációval egy paralelogrammába átvinni, ekkor ui. mind , mind ideális pontokká válnak, és a feladat állítása azzal lesz egyenértékű, hogy az szakasz és a szakasz felezőpontját összekötő egyenes ‐ a paraleolgramma egyik középvonala ‐ párhuzamos a és oldalegyenesekkel, ami viszont nyilvánvaló. Ebből a megoldásból is leolvasható, hogy az egyenes azonos a -sel. |
|