Kezdőlap


Feladat:	N.68	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Braun Gábor , Gyarmati Katalin
Füzet:	1996/január, 39. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Számhalmazok, Nehéz feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1995/április: N.68

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen $| H | = n$ , $H$ elemei $a_{1}$ , $...$ , $a_{n}$ , $| H_{-} | = t$ , $H_{-}$ elemei $k_{1}$ , $...$ , $k_{t}$ . Minden $1 \leq i \leq t$ -re válasszunk egy-egy olyan $1 \leq p_{i}$ , $q_{i} \leq n$ számpárt, amelyre $k_{i} = a_{p_{i}} - a_{q_{i}}$ .
Minden $i$ -re rendeljük hozzá $k_{i}$ -hez a következő $n$ darab számpárt:

\begin{matrix} \begin{matrix} (a_{1} + a_{p_{i}}; a_{1} + a_{q_{i}}); \\ (a_{2} + a_{p_{i}}; a_{2} + a_{q_{i}}); \\ (a_{3} + a_{p_{i}}; a_{3} + a_{q_{i}}); \\ ⋮ \\ (a_{n} + a_{p_{i}}; a_{n} + a_{q_{i}}) . \end{matrix} \end{matrix}

Ezekben a számpárokban az első és a második tagok is mind különbözőek. A számpárok két tagjának különbsége

k_{i}

, ezért az is igaz, hogy a különböző

k_{i}

-khez különböző számpárok tartoznak.
A

t

darab különbséghez összesen

t \cdot n

számpárt rendeltünk. Ezeknek a számpároknak mindkét tagja

H_{+}

-ból való. Mivel

H_{+}

elemeiből összesen

| H_{+} |^{2}

számpárt lehet készíteni, ebből következik, hogy

| H_{+} |^{2} \geq t \cdot n

, ami éppen az állítás.

Gyarmati Katalin (Fazekas M. Főv. Gyak. Gimn., III. o.t.)