A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Meg fogjuk mutatni, hogy létezik egy olyan , , , pontsorozat, amelynek első és utolsó eleme az origó, és a bolha mindegyik -ből tud ugrani -be. Bebizonyítjuk, hogy ez elégséges ahhoz, hogy a bolhát el tudjuk pusztítani. Az pontból a , , vektorok három különböző pontba mutatnak, ezek közül az egyik az pont. A másik két pontot jelöljük -vel és -vel. Az első lépésben mérgezzük meg sorban a és , és , , és pontokat. Az F. 3048. feladat megoldásában leírtakhoz hasonlóan igazolható, hogy perc eltelte után () a bolha vagy már elpusztult, vagy az , , pontok valamelyikén tartózkodik. Az -edik perc letelte után a bolha (ha még él) már csak az körpályán ugrálhat, mert mind megmérgeztük a , , , , , pontokat. A körpálya pontjait sorban megmérgezve biztosan elpusztíthatjuk a bolhát. A megfelelő , , pontok létezése azzal ekvivalens, hogy létezzenek olyan , , nemnegatív egész számok, amelyek nem mind -k, és teljesül rájuk, hogy Bebizonyítjuk, hogy ha az , , vektorok nincsenek egy félsíkban, akkor léteznek ilyen számok. Először azt mutatjuk meg, hogy ha (1) teljesül valamilyen valós együtthatókkal (feltéve, hogy van köztük -tól különböző), akkor az együtthatók közül egyik sem lehet , és az együtthatók azonos előjelűek. Ha valamelyik együttható lenne, akkor a másik két vektor konstansszorosa lenne egymásnak, és a három vektor egy félsíkba esne. Az együtthatók tehát -tól különböznek. A három együttható között biztosan van két azonos előjelű; a szimmetria miatt feltehetjük, hogy ez a két szám és . Ha előjele ezekkel ellentétes, akkor felírható és olyan lineáris kombinációjaként, amelyben az együtthatók pozitívak: Ebből viszont következik, hogy benne van abban a szögtartományban, amelyet és zár be, a három vektor ismét egy félsíkba esik, ami ellentmondás. Az , , együtthatók tehát csak azonos előjelűek lehetnek. Legyenek az vektor koordinátái és . Könnyen ellenőrizhető, hogy | | Ebben az azonosságban az együtthatók egész számok, amelyek csak akkor lehetnének -k, ha a megfelelő két vektor párhuzamos lenne. Az előbb látottak alapján vagy mindhárom szám pozitív, vagy mindhárom negatív. Az előbbi esetben ezeket az együtthatókat, az utóbbi esetben az ellentettjeiket választhatjuk , , -nak. Ezzel bebizonyítottuk, hogy léteznek megfelelő , , , pontok, következésképpen a bolha elpusztítható.
Zubcsek Péter Pál (Fazekas M. Főv. Gyak. Gimn., I. o.t.) dolgozata alapján |
|