Feladat: N.53 Korcsoport: 18- Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Elek Péter ,  Gyarmati Katalin ,  Pap Gyula ,  Tóth Gábor Zsolt ,  Valkó Benedek 
Füzet: 1995/szeptember, 352 - 353. oldal  PDF file
Témakör(ök): Számtani sorozat, Nehéz feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1995/január: N.53

Van-e olyan 1995 különböző elemből álló számtani sorozat, amelyben minden tag egy pozitív egész 1-nél nagyobb egész kitevőjű hatványa?
Lehet-e egy ilyen számtani sorozat végtelen hosszú?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

 
Megoldás. 1. Először azt látjuk be, hogy tetszőleges pozitív egész n esetén lehet találni egy n különböző elemből álló számtani sorozatot, aminek minden eleme egy pozitív egésznek 1-nél nagyobb egész kitevőjű hatványa. Ezt teljes indukcióval igazoljuk.
n=2-re az állítás triviális, vegyük például 22=4-et és 32=9-et.
Tegyük fel, hogy k-ra igaz az állítás, tehát meg tudunk adni a1<a2<...<ak pozitív egészeket úgy, hogy
ai=a1+(i-1)d,ai=bici(1ik;bi,ci,dpozitív egész;ci2).
Legyen ak+1=a1+kd, így a1, a2, ..., ak+1 is számtani sorozat lesz, de ak+1 általában nem teljes hatvány.
Legyen C=c1c2...ck, és legyen Aj=ajak+1C (ahol 1jk+1). Ekkor
Aj=a1ak+1C+(j-1)dak+1C, tehát A1, ..., Ak+1 szintén számtani sorozatot alkot.
Ak+1=ak+1ak+1C=ak+1C+1, és minden 1ik-ra Ai=biciak+1C=(biak+1C/ci)ci; ezért minden Aj egy pozitív egész 1-nél nagyobb egész kitevőjű hatványa.
2. Egy ilyen számtani sorozat nem lehet végtelen hosszú. Tegyük fel, hogy mégis van egy végtelen ak+b számtani sorozat, amelynek minden eleme teljes hatvány. Legyen c az a és b legnagyobb közös osztója és a0c=a, b0c=b. Ekkor a c(a0k+b0) számtani sorozatról van szó, ahol (a0,b0)=1. Dirichlet tétele alapján a0k+b0 számtani sorozat elemei között végtelen sok prím van. Ha a0k+b0=p prím, akkor cp-nek teljes hatványnak kell lennie; ez viszont csak akkor lehetséges, ha pc. Mivel végtelen sok k-ra lesz a0k+b0 prím, azért c-nek végtelen sok prímmel kell oszthatónak lennie. Ez csak c=0 esetén következik be, ami ellentmondás, mert (a,b)0.
 Pap Gyula (Debrecen, Fazekas M. Gimn., II. o.t.)