Feladat: Gy.3026 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Bánhegyi Balázs ,  Bartha Sándor ,  Bérczi Gergely ,  Braun Gábor ,  Csikvári András ,  Fodor Bea ,  Frenkel Péter ,  Gáli Gergely ,  Győri Nikolett ,  Juhász András ,  Katona Zsolt ,  Kecskés Tamás ,  Kutalik Zoltán ,  Lippner Gábor ,  Major Csaba ,  Mészáros Enikő ,  Nyul Gábor ,  Pogány Ádám ,  Szeles Tamás ,  Terék Zsolt ,  Tóth Ádám ,  Zawadowski Ádám 
Füzet: 1996/április, 211 - 212. oldal  PDF file
Témakör(ök): Egyenes, Pont, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1995/december: Gy.3026

Meg lehet-e adni a síkon 1995 különböző, nem egy egyenesen levő pontot úgy, hogy bármelyik kettő összekötő egyenesére az adott pontok közül legalább még egy illeszkedjen?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Tegyük fel, hogy meg lehet adni a pontokat a feltételeknek megfelelően. Rajzoljuk meg az összes összekötő egyenest. Tekintsük a pontoknak az összekötő egyenestől való távolságait. Válasszuk ki azt a pont-egyenes párt ‐ és jelöljük O-val és e-vel ‐, amelyre ez a távolság a legkisebb, de nem nulla (ha több legkisebb távolság van, akkor ezek közül válasszunk egyet). Ilyen pár létezik, mert véges sok pontunk, így véges sok összekötő egyenesünk, véges sok pont-egyenes párunk van, továbbá a pontok nincsenek mind egy egyenesen. Az e egyenesen az 1995 pont közül legalább 3 rajta van. Legyen A, B és C három olyan pont, melyek közül B az A és C közt van. Ekkor az ABO és a CBO szögek közül az egyik legalább 90. A szimmetria miatt feltehetjük, hogy ABO90. Ezért az ABO háromszögben AO a legnagyobb oldal. Tudjuk, hogy egy háromszögben nagyobb oldalhoz kisebb magasság tartozik, vagyis a B pontnak az AO egyenestől való távolsága kisebb, mint az O pont e-től való távolsága. Ez az ellentmondás azt jelenti, hogy nem adhatunk meg 1995 (és általában véges sok pontot sem) a feltételeknek megfelelő módon.

 Tóth Ádám (Fazekas M. Főv. Gyak. Gimn., II. o.t.)

 
Megjegyzés. Meg lehet mutatni, hogy ha a sík n pontja nincs rajta egy egyenesen, akkor a pontok összekötő egyenesei közül legalább 37n csak két adott pontot tartalmaz.