Kezdőlap


Feladat:	Gy.3024	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bérczi Gergely , Borkó Rezső , Csikvári András , Csordás Péter , Gáspár Merse Előd , Győri Nikolett , Hangya Balázs , Hegyi Veronika , Hegyközi József , Héjjas Péter , Kormos Márton , Lázár András , Lengyel Tímea , Lippner Gábor , Méder Áron , Molnár Rita , Molnár-Sáska Balázs , Pál András , Papp Dávid , Poronyi Gábor , Pozsonyi Gergő , Repcsényi Attila , Reviczky Ágnes , Szécsi Vajk , Telcs Borbála , Terék Zsolt , Terpai Tamás , Vaik Zsuzsanna , Varga Szilvia , Végh László , Zubcsek Péter Pál
Füzet:	1996/május, 280 - 281. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Téglalapok, Négyzetek, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1995/december: Gy.3024

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Vezessük be az ábrán látható segédpontokat. Feltehető, hogy a $P_{5}$ négyzet oldalára $A_{2} D_{2} = 1$ teljesül, valamint legyen $D_{1} D_{2} = x$ és $C_{1} C_{2} = y$ . Ezek segítségével fogjuk igazolni, hogy a négy terület egyenlőségéből következik az, hogy $A B C D$ négyzet.
Felírva $P_{2}$ területét: $T = x (1 + y)$ . Ekkor $T_{P_{2}} = T_{P_{3}}$ alapján $x (1 + y) = y \cdot C_{1} B$ , amiből $C_{1} B = \frac{x + x y}{y} = \frac{x}{y} + x$ , valamint $B_{1} B_{2} = C_{1} B - 1 = \frac{x}{y} + x - 1$ . A $T_{P_{2}} = T_{P_{4}}$ összefüggésből

\begin{matrix} A B_{1} = \frac{x + x y}{B_{1} B_{2}} = \frac{x + x y}{\frac{x}{y} + x - 1} = \frac{x y + y^{2}}{x + x y - y} \end{matrix}

és

\begin{matrix} A_{1} A_{2} = \frac{x y + x y^{2}}{x + x y - y} - 1 = \frac{x y^{2} - x + y}{x + x y - y} . \end{matrix}

(1)

Végül

T_{P_{1}} = T_{P_{2}}

alapján:

\begin{matrix} A_{1} A_{2} = \frac{x + x y}{1 + x} . \end{matrix}

(2)

Összevetve, majd átalakítva (1)-et és (2)-t:

\begin{matrix} \begin{matrix} \frac{x y^{2} - x + y}{x + x y - y} = \frac{x + x y}{1 + x}, \\ x y^{2} - x + y + x^{2} y^{2} - x^{2} + x y = x^{2} + x^{2} y + x^{2} y + x^{2} y^{2} - x y - x y^{2}, \\ 0 = x - y + 2 x^{2} y - 2 x y^{2} + 2 x^{2} - 2 x y = (x - y) (1 + 2 x y + 2 x) . \end{matrix} \end{matrix}

Mivel

x

és

y

pozitívak, azért

1 + 2 x y + 2 x \neq 0

, így szükségképpen

x = y

teljesül. Ekkor viszont

C D = A_{1} A_{2} + 1 + y = \frac{x + x y}{1 + x} + 1 + y = \frac{x + x^{2}}{1 + x} + 1 + x = 1 + 2 x

, valamint

A D = x + 1 + B_{1} B_{2} = x + 1 + \frac{x}{y} + x - 1 = 1 + 2 x

, tehát

A D = C D

, és így

A B C D

valóban négyzet.