Feladat: Gy.3024 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Bérczi Gergely ,  Borkó Rezső ,  Csikvári András ,  Csordás Péter ,  Gáspár Merse Előd ,  Győri Nikolett ,  Hangya Balázs ,  Hegyi Veronika ,  Hegyközi József ,  Héjjas Péter ,  Kormos Márton ,  Lázár András ,  Lengyel Tímea ,  Lippner Gábor ,  Méder Áron ,  Molnár Rita ,  Molnár-Sáska Balázs ,  Pál András ,  Papp Dávid ,  Poronyi Gábor ,  Pozsonyi Gergő ,  Repcsényi Attila ,  Reviczky Ágnes ,  Szécsi Vajk ,  Telcs Borbála ,  Terék Zsolt ,  Terpai Tamás ,  Vaik Zsuzsanna ,  Varga Szilvia ,  Végh László ,  Zubcsek Péter Pál 
Füzet: 1996/május, 280 - 281. oldal  PDF file
Témakör(ök): Téglalapok, Négyzetek, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1995/december: Gy.3024

Az ABCD téglalapot a P1, P2, P3, P4, P5 téglalapokra osztottuk fel az ábrán látható módon. Tudjuk, hogy P5 négyzet, és a P1, P2, P3, P4 téglalapok területe egyenlő. Igazoljuk, hogy ekkor ABCD szintén négyzet.
 

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Vezessük be az ábrán látható segédpontokat. Feltehető, hogy a P5 négyzet oldalára A2D2=1 teljesül, valamint legyen D1D2=x és C1C2=y. Ezek segítségével fogjuk igazolni, hogy a négy terület egyenlőségéből következik az, hogy ABCD négyzet.
Felírva P2 területét: T=x(1+y). Ekkor TP2=TP3 alapján x(1+y)=yC1B, amiből C1B=x+xyy=xy+x, valamint B1B2=C1B-1=xy+x-1. A TP2=TP4 összefüggésből

AB1=x+xyB1B2=x+xyxy+x-1=xy+y2x+xy-y
és
A1A2=xy+xy2x+xy-y-1=xy2-x+yx+xy-y.(1)
Végül TP1=TP2 alapján:
A1A2=x+xy1+x.(2)
Összevetve, majd átalakítva (1)-et és (2)-t:
xy2-x+yx+xy-y=x+xy1+x,xy2-x+y+x2y2-x2+xy=x2+x2y+x2y+x2y2-xy-xy2,0=x-y+2x2y-2xy2+2x2-2xy=(x-y)(1+2xy+2x).
Mivel x és y pozitívak, azért 1+2xy+2x0, így szükségképpen x=y teljesül. Ekkor viszont CD=A1A2+1+y=x+xy1+x+1+y=x+x21+x+1+x=1+2x, valamint AD=x+1+B1B2=x+1+xy+x-1=1+2x, tehát AD=CD, és így ABCD valóban négyzet.