Jelöljük az $ABCD$ konvex négyszög szögeit $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, $\delta$-val. Először megmutatjuk, hogy a négyszögnek van olyan oldala, amelynek relatív hossza legalább 1. Tudjuk, hogy $\alpha +\beta +\gamma +\delta ={360}^{\circ }$. Ezért a négyszögnek van két szomszédos szöge, amelyek összege legfeljebb ${180}^{\circ }$. (Ha ez nem lenne igaz, akkor $\alpha +\beta >{180}^{\circ }$, $\beta +\gamma >{180}^{\circ }$, $\gamma +\delta >{180}^{\circ }$ és $\delta +\alpha >{180}^{\circ }$ lenne, amiből $\alpha +\beta +\gamma +\delta >{360}^{\circ }$ következne.) Feltehetjük, hogy $\alpha +\beta \le {180}^{\circ }$. Legyen $e$ a $B$-n átmenő, $AD$-vel párhuzamos egyenes (1. ábra). Mivel $ABCD$ konvex és $\alpha +\beta \le {180}^{\circ }$, azért a négyszög teljes egészében benne van az $AD$ és $e$ párhuzamos egyenesek által határolt sávban. Ezért a négyszög minden $AB$-vel párhuzamos húrja is benne van a sávban, vagyis minden $AB$-vel párhuzamos húr legfeljebb olyan hosszú, mint $AB$. Tehát $AB$ relatív hossza legalább $1$.
Most megmutatjuk, hogy a négyszögnek olyan oldala is van, amelynek relatív hossza legfeljebb 1. A négyszögnek van két szomszédos szöge, amelyek összege legalább ${180}^{\circ }$ (ez ugyanúgy bizonyítható, mint az előző esetben a másik irányú egyenlőtlenség). Feltehetjük, hogy $\gamma +\delta >{180}^{\circ }$. Legyen $EF$ a $CD$-vel párhuzamos olyan húr, amelynek egyik végpontja az $AD$, másik pedig a $BC$ szakasz belső pontja. (Ilyen húr mindig létezik.) Ekkor a $C$-n átmenő, $AD$-vel párhuzamos $f$ egyenes az $EF$ szakaszt egy $G$ pontban metszi (2. ábra), ahol $G$ vagy belső pontja a szakasznak ‐ ha $\gamma +\delta >{180}^{\circ }$ ‐, vagy $G\equiv F$ ‐ ha $\gamma +\delta ={180}^{\circ }$. A $CDEG$ négyszög paralelogramma, tehát $CD=EG$, vagyis $CD\le EF$, amiből következik, hogy $CD$ relatív hossza legfeljebb 1.