Kezdőlap


Feladat:	Gy.3017	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Lengyel Tímea
Füzet:	1996/április, 210. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Prímszámok, Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1995/november: Gy.3017

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az egyenlethez $1$ -et adva, a jobb oldal szorzattá alakítható:

\begin{matrix} n^{2} + 1 = (p^{2} + 1) (q^{2} + 1) . \end{matrix}

p

és

q

mindegyike páratlan, akkor ez a szorzat osztható néggyel, így

n^{2} = 4 k - 1

. Azonban egy négyzetszám néggyel osztva csak nulla vagy egy maradékot adhat, ezért

p

és

q

közül legalább az egyik páros, s mivel prím is, ezért szükségképpen kettővel egyenlő. Minthogy

p

és

q

szerepe felcserélhető, ezért feltehetjük, hogy

p = 2

.
Ekkor az egyenlet így alakul:

n^{2} = 4 + 5 q^{2}

, azaz

(n - 2) (n + 2) = 5 q^{2}

. A jobb oldal felbontásai csak

(1, 5 q^{2})

(q, 5 q)

és

(q^{2}, 5)

lehetnek, mivel

q

prím és

n

pedig természetes szám. Ezen párok nagyobbik elemének

n + 2

-vel, míg a másiknak

n - 2

-vel kell megegyeznie, azaz különbségük

4

\begin{matrix} 5 q^{2} - 1 = 4, vagy 5 q - q = 4, vagy q^{2} - 5 = \pm 4. \end{matrix}

Az elsőből

q^{2} = 1

, ez nem prím; a másodikból

q = 1

, szintén nem prím; a harmadikból

q^{2} = 9

vagy

1

adódik, aminek prím megoldása egyedül a

q = 3

. Ezt visszahelyettesítve:

\begin{matrix} p^{2} + q^{2} + p^{2} q^{2} = 4 + 9 + 4 \cdot 9 = 49 = 7^{2}, \end{matrix}

vagyis ebben az esetben a

p = 2

q = 3

n = 7

az egyedüli megoldás. Ehhez hozzávéve a

p

és

q

felcserélésével nyert

p = 3

q = 2

n = 7

számhármast, megkapjuk az egyenlet összes megoldását.

Lengyel Tímea (Kaposvár, Munkácsy M. Gimn., I. o.t.) dolgozata alapján