Kezdőlap


Feladat:	Gy.3014	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Lázár András , Nyul Gábor
Füzet:	1996/április, 209 - 210. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyenlőtlenségek, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1995/november: Gy.3014

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Alakítsuk át az egyenlőtlenségben szereplő törtet:

\begin{matrix} \begin{matrix} \frac{c d - a b}{c - a + d - b} = \frac{c d - b c + b c - a b}{c - a + d - b} = c \cdot \frac{d - b}{c - a + d - b} + b \cdot \frac{c - a}{c - a + d - b} = \\ = c \cdot \frac{b - d}{a - c + b - d} + b \cdot \frac{a - c}{a - c + b - d} . \end{matrix} \end{matrix}

Mivel

a > b > c > d

, azért

\begin{matrix} \frac{b - d}{a - c + b - d} > 0, \frac{a - c}{a - c + b - d} > 0, \end{matrix}

s így

\begin{matrix} \frac{c d - a b}{c - a + d - b} = c \cdot \frac{b - d}{a - c + b - d} + b \cdot \frac{a - c}{a - c + b - d} > c \cdot \frac{b - d}{a - c + b - d} + c \cdot \frac{a - c}{a - c + b - d} = c, \end{matrix}

valamint

\begin{matrix} \frac{c d - a b}{c - a + d - b} < b \cdot \frac{b - d}{a - c + b - d} + b \cdot \frac{a - c}{a - c + b - d} = b . \end{matrix}

Ezzel a kívánt egyenlőtlenséget igazoltuk.

Lázár András (Budapest, Berzsenyi D. Gimn., I. o.t.) dolgozata alapján