Feladat: Gy.3011 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Barát Anna ,  Bérczi Gergely ,  Csikvári András ,  Csóka Antal ,  Devecsery András ,  Felszeghy Bálint ,  Forgó Péter ,  Hangya Balázs ,  Horváth Gábor ,  Kőhalmi Dóra ,  Kőműves Balázs ,  Lippner Gábor ,  Lohn Balázs ,  Méder Áron ,  Nyul Gábor ,  Szalai-Dobos András ,  Szandrocha Kamilla ,  Szilágyi Judit ,  Szűcs Gábor ,  Vörös Imre 
Füzet: 1996/április, 208 - 209. oldal  PDF file
Témakör(ök): Apollóniusz-kör, Trapézok, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1995/október: Gy.3011

Szerkesszünk trapézt, ha adott párhuzamos oldalainak és egy szárának hossza, valamint két átlójának aránya.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Tekintsük a feladatot megoldottnak. Legyen ABCD és a BC szár adott. Tükrözzük az ABCD trapézt a BC (ha AD adott, akkor AD) felezőpontjára. A trapéz és tükörképe együtt az AD'A'D paralelogrammát alkotja. Az AD'C háromszög AC és CD' oldalai megegyeznek a szerkesztendő trapéz átlóival, AD' oldala pedig éppen a trapéz alapjainak összege. Ezek alapján ezt a háromszöget meg tudjuk szerkeszteni.
A szerkesztés lépései: felvesszük az AD' szakaszt, amelynek hossza megegyezik a trapéz párhuzamos oldalainak összhosszával, majd kijelöljük ezen a B pontot. B körül kört rajzolunk, amelynek sugara a trapéz adott (BC) hosszúságú szára. Megszerkesztjük az AD' szakaszhoz és a trapéz két átlójának arányához tartozó Apollóniusz-kört*Ld. pl. Horvay‐Reiman: Geometriai feladatok gyűjteménye I. 1395. feladat. (ha az arány 1, akkor az Apollóniusz-kör helyett AD' felező merőlegesére van szükségünk). Az Apollóniusz-kör és az előző lépésben szerkesztett B középpontú kör metszéspontja(i) adják a trapéz C csúcsát. Végül a C-n átmenő, AB-vel párhuzamos egyenesre (BC-nek A-t tartalmazó oldalára) az adott CD távolságot felmérjük, ezzel megkapjuk a trapéz negyedik csúcsát.
A szerkesztés lépéseiből következik, hogy az ABCD trapéz megfelel a feladat feltételeinek. A megoldások száma 1, ha az Apollóniusz-kör (felező merőleges) két pontban metszi a B középpontú kört ‐ mert a két metszéspont egymásnak az AD' egyenesre vonatkozó tükörképe ‐, egyéb esetekben pedig nincs megoldás.

 

*1