Kezdőlap


Feladat:	Gy.3002	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Füzet:	1996/február, 83 - 84. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Geometriai egyenlőtlenségek, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1995/szeptember: Gy.3002

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Mivel $x + y + z = 0$ , a három szám között biztosan van két olyan, amelyek szorzata nemnegatív. Az egyenlőtlenség szimmetriája miatt feltehetjük, hogy $x y \geq 0$ . A háromszög-egyenlőtlenség szerint $0 < c < a + b$ . Ezért

\begin{matrix} c^{2} x y \leq {(a + b)}^{2} x y . \end{matrix}

(1)

A bizonyítandó egyenlőtlenséget

z = - (x + y)

felhasználásával a következő módon írhatjuk:

\begin{matrix} a^{2} y z + b^{2} z x + c^{2} x y = - a^{2} x y - a^{2} y^{2} - b^{2} x^{2} - b^{2} x y + c^{2} x y \leq 0. \end{matrix}

Vagyis:

\begin{matrix} c^{2} x y \leq a^{2} x y + a^{2} y^{2} + b^{2} x^{2} + b^{2} x y . \end{matrix}

Ehelyett (1) miatt elegendő belátnunk, hogy

\begin{matrix} {(a + b)}^{2} x y \leq a^{2} x y + a^{2} y^{2} + b^{2} x^{2} + b^{2} x y . \end{matrix}

A bal oldalon elvégezve a négyzetreemelést, majd rendezve az egyenlőtlenséget, kapjuk a

\begin{matrix} 0 \leq a^{2} y^{2} + b^{2} x^{2} - 2 a b x y = {(a y - b x)}^{2} \end{matrix}

egyenlőtlenséget, ami nyilvánvalóan igaz.
Ezzel a feladat állítását beláttuk. A felhasznált háromszög-egyenlőtlenség szigorú volta miatt egyenlőség csak akkor állhat, ha

x

y

z

valamelyike nulla. Ha például

x = 0

, akkor

a^{2} y z = 0

-ból

y

vagy

z

nulla, ekkor viszont a harmadik szám is nulla. Egyenlőség tehát csak a triviális

x = y = z = 0

esetben áll fenn.