Feladat:	Gy.2996	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bérczi Gergely ,  Fekete Orsolya ,  Kutalik Zoltán ,  Nyul Gábor ,  Szilágyi Judit ,  Zubcsek Péter Pál
Füzet:	1996/január, 26 - 27. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Paralelogrammák, Vektorok vektoriális szorzata, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1995/május: Gy.2996

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   I. megoldás. Feltehetjük, hogy a $CAIJ$ paralelogramma az $AC$ egyenesnek ugyanazon az oldalán van, mint az $ABC$ háromszög, mert a paralelogramma területe nem függ attól, hogy az egyenesek melyik oldalára rajzoljuk. Az $AI$, illetve $CJ$ párhuzamos és egyenlő $BH$-val, ezért az $ABHI$, illetve a $BCJH$ négyszögek is paralelogrammák, tehát $I$, illetve $J$ illeszkedik a $HE$, illetve $HF$ egyenesekre (1. ábra). Az $ABDE$ paralelogramma területe megegyezik az $ABHI$ paralelogramma területével, mert $AB$ oldaluk közös, és az ehhez az oldalhoz tartozó magasságaik egyenlők. Ugyanígy, $BCFG$ területe megegyezik $BCJH$ területével. Az $ABC$ háromszög egybevágó az $IHJ$ háromszöggel, ezért $CAIJ$ területe egyenlő a $CBAIHJ$ hatszög területével. E hatszög viszont éppen az $ABHI$ és a $BCJH$ paralelogrammák ,,összeragasztásával'' keletkezett, tehát területe nyilván ezek területének összege.   II. megoldás. A vektoriális szorzat tulajdonságait használva látjuk be az állítást. Tudjuk, hogy $\begin{array}{c}{\displaystyle {\displaystyle \begin{array}{c}\hfill {\displaystyle T_{CAIJ}=\left|\overrightarrow{AC}\times \overrightarrow{CJ}\right|\mathrm{,}{T}_{ABDE}=\left|\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{BD}\right|\text{és}{T}_{BCFG}=\left|\overrightarrow{BC}\times \overrightarrow{BG}\right|\mathrm{.}}\end{array}}}\end{array}$ $\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{BD}$ és $\overrightarrow{BC}\times \overrightarrow{BG}$ egyirányú vektorok, ezért hosszaik összege egyenlő összegük hosszával. Felhasználva az 1. ábra alapján nyilvánvaló vektoregyenlőségeket, valamint azt, hogy párhuzamos vektorok vektoriális szorzata 0: $\begin{array}{c}{\displaystyle {\displaystyle \begin{array}{c}\hfill {\displaystyle \left|\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{BD}\right|+\left|\overrightarrow{BC}\times \overrightarrow{BG}\right|=\left|\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{BD}+\overrightarrow{BC}\times \overrightarrow{BG}\right|=}\\ \hfill {\displaystyle =\left|\overrightarrow{AB}\times \left(\overrightarrow{BH}+\overrightarrow{HD}\right)+\overrightarrow{BC}\times \left(\overrightarrow{BH}+\overrightarrow{HG}\right)\right|=}\\ \hfill {\displaystyle =\left|\left(\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{BH}\right)+\left(\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{HD}\right)+\left(\overrightarrow{BC}\times \overrightarrow{BH}\right)+\left(\overrightarrow{BC}\times \overrightarrow{HG}\right)\right|=}\\ \hfill {\displaystyle \left|\left(\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{BH}\right)+\left(\overrightarrow{BC}\times \overrightarrow{BH}\right)\right|=\left|\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}\right)\times \overrightarrow{BH}\right|=\left|\overrightarrow{AC}\times \overrightarrow{BH}\right|=\left|\overrightarrow{AC}\times \overrightarrow{CJ}\right|\mathrm{.}}\end{array}}}\end{array}$ Tehát $T_{ABDE}+T_{BCFG}=T_{CAIJ}$.   Megjegyzés. Ha az $ABC$ háromszögben $B$-nél derékszög van, továbbá $ABDE$ és $BCFG$ négyzetek, akkor a $DBH$ háromszög egybevágó az eredeti $ABC$ háromszöggel (2. ábra), ezért $CAIJ$ is négyzet. Ebben a speciális esetben feladatunk állítása éppen Pitagorasz tétele.