Feladat:	Gy.2989	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Less Áron ,  Zöldy Balázs
Füzet:	1996/január, 23 - 24. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Számtani-mértani egyenlőtlenségek, Téglatest, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1995/április: Gy.2989

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   I. megoldás. A számtani és négyzetes közepek közötti egyenlőtlenség miatt $\begin{array}{c}{\displaystyle \sqrt[]{\frac{a^2+b^2+c^2}{3}}\ge \frac{a+b+c}{3}\mathrm{.}}\end{array}$ Egy négyszögben három oldal összege nagyobb, mint a negyedik oldal, ezért $a+b+c>d$. E két egyenlőtlenségből kapjuk, hogy $\begin{array}{c}{\displaystyle a^2+b^2+c^2>\frac{d^2}{3}\mathrm{.}}\end{array}$ Mindkét oldalhoz $2\left(ab+bc+ca\right)$-t adva és rendezve $\begin{array}{c}{\displaystyle {\left(a+b+c\right)}^2-\frac{d^2}{3}>2\left(ab+bc+ca\right)}\end{array}$ adódik, ami éppen a bizonyítandó állítás, mert a jobb oldali kifejezés éppen a téglatest felszíne.  Zöldy Balázs (Budapest, Szent István Gimn., II. o.t.)   II. megoldás. Alakítsuk át a triviálisan teljesülő ${\left(a-b\right)}^2+{\left(b-c\right)}^2+{\left(c-a\right)}^2\ge 0$ egyenlőtlenséget: $2a^2+2b^2+2c^2\ge 2ab+2bc+2ca$, $\begin{array}{c}{\displaystyle 3a^2+3b^2+3c^2\ge a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca={\left(a+b+c\right)}^2}\end{array}$ A négyszögegyenlőtlenség alapján $a+b+c>d$, ezért $\begin{array}{c}{\displaystyle {\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle 3a^2+3b^2+3c^2}& {\displaystyle >d^2\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle a^2+b^2+c^2-\frac{d^2}{3}}& {\displaystyle >0.}\hfill \end{array}}}\end{array}$ Ez utóbbi mindkét oldalához hozzáadva a téglatest felszínét, $\left(2ab+2bc+2ca\right)$-t, éppen a bizonyítandó állítás kapjuk: $\begin{array}{c}{\displaystyle {\left(a+b+c\right)}^2-\frac{d^2}{3}>2\left(ab+bc+ca\right)\mathrm{.}}\end{array}$  Less Áron (Miskolc, Földes F. Gimn., I. o.t.)   Megjegyzés. A második megoldás során ‐ bár nem mondtuk ki ‐ bebizonyítottuk a számtani és a négyzetes közép közti egyenlőtlenséget. Ezért a két megoldás lényegében ugyanaz.