Kezdőlap


Feladat:	Gy.2987	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bárány Kristóf , Becker Johanna , Elek Péter , Eöri János , Fazekas Borbála , Frenkel Péter , Gröller Ákos , Gyukics Mihály , Hangya Balázs , Hegyi Barnabás , Jenei Piroska , Jeszenszky Gyula , Juhász András , Kovács András , Lolbert Tamás , Makai Márton , Mátrai Tamás , Méder Áron , Molnár Marianna , Nyakas Péter , Nyul Gábor , Orbán András , Pap Gyula , Perényi Márton , Pogány Ádám , Rozmán András , Ruzsa Gábor , Solymos Róbert , Szabó Gábor , Szabó István , Székely László , Szilágyi Jenő , Szilágyi Judit , Tóth Gábor Zsolt , Urbancsek Tamás , Varga Tamás , Véber Miklós , Vörös Zoltán , Zábrádi Zoltán , Zubcsek Péter Pál
Füzet:	1996/február, 82 - 83. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Konstruktív megoldási módszer, Ellenpélda, mint megoldási módszer a matematikában, Trigonometriai azonosságok, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1995/április: Gy.2987

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megmutatjuk, hogy létezik két nem egybevágó hegyesszögű háromszög, amelyek megegyeznek a szárakban és a beírható körök sugaraiban.
Legyen az $A B C$ egyenlő szárú háromszög $B C$ alapjának felezőpontja $F$ , a háromszög beírt körének sugarát pedig jelöljük $r$ -rel. Legyen $F A B ∢ = F A C ∢ = α$ . A háromszög pontosan akkor hegyesszögű, ha $α < 45^{\circ}$ . Feladatunk ekvivalens annak a kérdésnek az eldöntésével, hogy $A B$ és $r$ aránya egyértelműen meghatározza-e $α$ -t. Fejezzük ki az $\frac{A B}{r}$ arányt $α$ segítségével. Az $A B F$ háromszögben $F$ -nél derékszög van, ezért $A F = A B \cdot cos α$ és $B F = A B \cdot sin α$ . Ha tehát az $A B C$ háromszög területét $T$ jelöli, akkor $T = A B^{2} \cdot cos α \cdot sin α$ . A területet kifejezhetjük a beírható kör sugarának segítségével is:

\begin{matrix} T = r \cdot \frac{A B + B C + C A}{2} = r (A B + B F) = r \cdot A B (1 + sin α) . \end{matrix}

E két egyenlőségből kapjuk, hogy

\begin{matrix} \frac{A B}{r} = \frac{1 + sin α}{cos α \cdot sin α} . \end{matrix}

(1)

Azt akarjuk megmutatni, hogy van két különböző pozitív, de

45^{\circ}

-nál kisebb

α

, amelyekre az (1) kifejezés értéke egyenlő. Ez pontosan akkor teljesül, ha az

α \mapsto \frac{1 + sin α}{cos α \cdot sin α}

függvény a

(0^{\circ}, 45^{\circ})

intervallumon nem szigorúan monoton (mivel a függvény ezen az intervallumon nyilvánvalóan folytonos). A függvénytáblázat adatait használva ‐ négy jegyre kerekítve ‐ kapjuk, hogy

\begin{matrix} \frac{1 + sin 36^{\circ}}{cos 36^{\circ} \cdot sin 36^{\circ}} = 3,339, \frac{1 + sin 38^{\circ}}{cos 38^{\circ} \cdot sin 38^{\circ}} = 3,330 és \frac{1 + sin 40^{\circ}}{cos 40^{\circ} \cdot sin 40^{\circ}} = 3,336. \end{matrix}

Tehát a függvény nem monoton. (Ezt közelítő értékek használata nélkül, a derivált vizsgálatával is beláthatjuk.) Ezért, ha például

\frac{A B}{r} = 3,335

, akkor legalább két lehetőség van

α

-ra, az egyik

36^{\circ}

és

38^{\circ}

közt, a másik pedig

38^{\circ}

és

40^{\circ}

között.
Így beláttuk, hogy két hegyesszögű, egyenlő szárú háromszög nem feltétlenül egybevágó, ha megegyeznek a szárakban és a beírható körök sugarában.

Rozmán András (Szombathely, Nagy Lajos Gimn., III. o.t.) dolgozata alapján