Feladat: Gy.2987 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Bárány Kristóf ,  Becker Johanna ,  Elek Péter ,  Eöri János ,  Fazekas Borbála ,  Frenkel Péter ,  Gröller Ákos ,  Gyukics Mihály ,  Hangya Balázs ,  Hegyi Barnabás ,  Jenei Piroska ,  Jeszenszky Gyula ,  Juhász András ,  Kovács András ,  Lolbert Tamás ,  Makai Márton ,  Mátrai Tamás ,  Méder Áron ,  Molnár Marianna ,  Nyakas Péter ,  Nyul Gábor ,  Orbán András ,  Pap Gyula ,  Perényi Márton ,  Pogány Ádám ,  Rozmán András ,  Ruzsa Gábor ,  Solymos Róbert ,  Szabó Gábor ,  Szabó István ,  Székely László ,  Szilágyi Jenő ,  Szilágyi Judit ,  Tóth Gábor Zsolt ,  Urbancsek Tamás ,  Varga Tamás ,  Véber Miklós ,  Vörös Zoltán ,  Zábrádi Zoltán ,  Zubcsek Péter Pál 
Füzet: 1996/február, 82 - 83. oldal  PDF file
Témakör(ök): Konstruktív megoldási módszer, Ellenpélda, mint megoldási módszer a matematikában, Trigonometriai azonosságok, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1995/április: Gy.2987

Igaz-e, hogy két hegyesszögű, egyenlő szárú háromszög egybevágó, ha megegyeznek a szárakban és a beírható körök sugaraiban?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megmutatjuk, hogy létezik két nem egybevágó hegyesszögű háromszög, amelyek megegyeznek a szárakban és a beírható körök sugaraiban.
Legyen az ABC egyenlő szárú háromszög BC alapjának felezőpontja F, a háromszög beírt körének sugarát pedig jelöljük r-rel. Legyen FAB=FAC=α. A háromszög pontosan akkor hegyesszögű, ha α<45. Feladatunk ekvivalens annak a kérdésnek az eldöntésével, hogy AB és r aránya egyértelműen meghatározza-e α-t. Fejezzük ki az ABr arányt α segítségével. Az ABF háromszögben F-nél derékszög van, ezért AF=ABcosα és BF=ABsinα. Ha tehát az ABC háromszög területét T jelöli, akkor T=AB2cosαsinα. A területet kifejezhetjük a beírható kör sugarának segítségével is:

T=rAB+BC+CA2=r(AB+BF)=rAB(1+sinα).
E két egyenlőségből kapjuk, hogy
ABr=1+sinαcosαsinα.(1)

Azt akarjuk megmutatni, hogy van két különböző pozitív, de 45-nál kisebb α, amelyekre az (1) kifejezés értéke egyenlő. Ez pontosan akkor teljesül, ha az α1+sinαcosαsinα függvény a (0,45) intervallumon nem szigorúan monoton (mivel a függvény ezen az intervallumon nyilvánvalóan folytonos). A függvénytáblázat adatait használva ‐ négy jegyre kerekítve ‐ kapjuk, hogy
1+sin36cos36sin36=3,339,1+sin38cos38sin38=3,330és1+sin40cos40sin40=3,336.
Tehát a függvény nem monoton. (Ezt közelítő értékek használata nélkül, a derivált vizsgálatával is beláthatjuk.) Ezért, ha például ABr=3,335, akkor legalább két lehetőség van α-ra, az egyik 36 és 38 közt, a másik pedig 38 és 40 között.
Így beláttuk, hogy két hegyesszögű, egyenlő szárú háromszög nem feltétlenül egybevágó, ha megegyeznek a szárakban és a beírható körök sugarában.
 Rozmán András (Szombathely, Nagy Lajos Gimn., III. o.t.) dolgozata alapján