Jelöljük az adott pontot $P$-vel, az adott átmérő végpontjait pedig $A$-val és $B$-vel. Legyen az $AP$, illetve $BP$ egyenesnek és a körnek a második metszéspontja $C$, illetve $D$, a $BC$ és $AD$ egyenesek metszéspontja pedig $M$ (1. és 2. ábra). Megmutatjuk, hogy $MP$ merőleges $AB$-ra.
Thalész tétele alapján $ACB\sphericalangle =BDA\sphericalangle ={90}^{\circ }$; tehát az $APB$ háromszögben $AD$ és $BC$ magasságvonalak. Ezért metszéspontjuk, $M$, a háromszög magasságpontja. Azaz $MP$ a háromszög harmadik magasságvonala, ezért merőleges $AB$-re.
Az előzőekben leírt szerkesztést csak akkor lehet végrehajtani, ha $P$ nincs rajta a körön, továbbá $PA$ és $PB$ nem érintői a körnek. Ha $PA$ vagy $PB$ érintő, akkor merőleges a hozzá tartozó sugárra, vagyis az $AB$ átmérőre. Így ebben az esetben a keresett merőleges $P$ és $A$ vagy $B$ összekötésével megszerkeszthető.
Ha $P$ rajta van a körvonalon, akkor vegyünk fel egy, a kör belsejében lévő és $AB$-re nem illeszkedő $S$ pontot (3. ábra). Az előzőekben leírtak alapján szerkesszük meg az $S$-en átmenő, $AB$-re merőleges egyenest. Mivel $S$ belső pont, ezért ez az egyenes két pontban, $T$-ben és $T\text{'}$-ben metszi a kört. Kössük össze $T$-t $P$-vel, legyen ennek az egyenesnek és $AB$-nek a metszéspontja $U$. (Ha